Analyse 3

Ects : 5
Compétence à acquérir :
Introduction de différents procédés de sommation comme l'intégrale généralisée, les séries numériques et de fonctions.

Description du contenu de l'enseignement :
1. Suites de Cauchy, propriétés, complétude de R.
2. Séries numériques ; propriétés et exemples usuels, reste. Série absolument convergente. Séries positives. Séries de Riemann. Comparaison, équivalence. Critère de Cauchy, de D'Alembert, en n , d'Abel
3. Intégrale généralisée sur un intervalle borné ou non. Intégrale de Riemann. Propriétés usuelles. Intégrale absolument convergente, semi-convergente. Intégrales positives. Critère de comparaison, critère d'équivalence, en (x-a) . Intégrale doublement généralisée. Exemples.
4. Suites de fonctions : convergence simple, uniforme, interversion de limites. Continuité, intégration, dérivation.
5. Séries de fonctions : convergence simple, absolue, uniforme et normale. Séries entières. Rayon de convergence. Lemme d'Abel. Critères de Cauchy, de D'Alembert, critères de comparaison, d'équivalence. Somme et produit, convergence uniforme, série primitive, série dérivée. Fonction développable en série entière. Régularité. Utilisation des formules de Taylor.