Analyse 4

Ects : 4
Compétence à acquérir :
Notions de Topologie : savoir démontrer qu'un ensemble est ouvert, fermé, borné ; calculer l'intérieur, l'adhérence, la frontière dans des cas simples ; savoir étudier les suites à valeurs dans Rn ou des espaces de matrices ; savoir utiliser la compacité en dimension finie, la notion d'ensemble dense, savoir utiliser la continuité pour montrer qu'un ensemble est ouvert, fermé ; savoir utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité ; savoir étudier la norme d'applications (bi)linéaires en dimension finie ; savoir calculer des dérivées partielles.

Description du contenu de l'enseignement :
1. Espaces métriques. Exemples : espaces euclidiens, espaces vectoriels normés.
2. Boules ouvertes, fermées, sphères.
3. Parties bornées.
4. Suites : convergence, bornitude, unicité de la limite. Suites extraites, valeurs d'adhérence.
5. Ouvert, voisinage. Fermé, point adhérent. Intérieur, adhérence, frontière.
6. Caractérisations séquentielles.
7. Compacité (au sens de Bolzano-Weierstrass).
8. Densité, exemples.
9. Restrictions à une partie.
10. Complétude : suites de Cauchy et définition d'un espace de Banach.
11. Convergence normale dans un Banach.
12. Exemple de l'exponentielle de matrice (TD).
13. Comparaison des topologies, distances, normes. Normes équivalentes. Exemples de normes non équivalentes (TD).
14. Limite en un point. Propriétés.
15. Continuité. Caractérisation séquentielle.
16. Image réciproque d'un ouvert, fermé.
17. Compacité et continuité.
18. Applications (bi)linéaires continues, norme. Exemple d’applications linéaires non continues (TD).
19. Connexité et connexité par arcs.
20. Dimension finie : équivalence des normes. Complétude.
21. Convergence des coordonnées. Caractérisation des compacts.
22. Calcul différentiel élémentaire en dimension finie (pas de différentielle) :
23. Dérivées partielles d'ordre 1 ou 2, fonctions de classe C1 ou C2.