Géométrie algébrique réelle

Ects : 6
Compétence à acquérir :
Ce cours est une introduction aux systèmes de particules en interaction (IPS). Les IPS ont été introduits par Spitzer dans les années 1960 pour étudier des modèles issus de la mécanique statistique. Les premiers IPS ont une mesure d’équilibre correspondant à la mesure de Gibbs classique pour des modèles présentant une transition de phase, tel que le modèle d’Ising. La classe de modèles a été vite agrandie pour étudier divers phénomènes issus de la physique, de la biologie ou des sciences sociales : la croissance des cristaux, la diffusion d’infections ou des feux de forêts, la dynamique d’opinions…

D’un point de vue mathématique, il s’agit de systèmes de particules sur réseaux qui évoluent selon un processus de Markov de temps continue. L’enjeu principal est celui de déterminer le comportement en temps long de systèmes ayant un nombre infini de particules en interactions locales, notamment caractériser les mesures invariantes et leur bassin d’attraction.

On analysera en détail deux modèles classiques : le modèle d’Ising stochastique et le processus de contact. Cela nous permettra d’introduire des outils tels que le trou spectral et les temps de mélanges. Ensuite on analysera le modèle East, qui fait partie des modèles dit à contraintes cinétiques (KCM). Ces modèles, introduits en physique pour étudier les dynamiques vitreuses, nécessitent des outils adaptés pour l’étude de leur comportement en temps long. On terminera avec la description des plusieurs questions qui restent ouvertes dans l’étude des KCM.