Marches aléatoires sur les groupes

Ects : 6
Compétence à acquérir :
Il y a une double motivation possible pour une étude des marches aléatoires sur les groupes.
- Du point de vue de la théorie des groupes, les marches aléatoires sur les groupes fournissent de nombreux invariants probabilistes du groupe. Dans le cas de groupes de type fini, ces invariants sont étroitement liés à la géométrie des graphes de Cayley correspondants. Un problème plus difficile qui reste un défi est de relier les invariants probabilistes aux propriétés algébriques du groupe en question.
- Du point de vue des marches aléatoires, les espaces homogènes fournissent un contexte riche qui généralise des exemples classiques de marches aléatoires sur Zd.  L’invariance du noyau de Markov par rapport à l’action de groupe impose la structure naturelle et des propriétés stochastiques intéressantes de marches aléatoire et de leurs trajectoires.

Les sujets du cours incluront la récurrence / la transience, les probabilités de transition, l’isopérimétrie, la vitesse de la fuite et l’entropie, comportement asymptotique des trajectoires, bord de Martin et de Poisson des marches aléatoires.

Nous commençons par des résultats basiques, tels que les estimations gaussiennes de Carne Varopoulos, les inégalités entre les  probabilités de transition et le profil isopérimétrique, le résultat de Margulis sur l’absence de fonctions harmoniques positives pour les marches aléatoires symétrique  sur les groupes nilpotents, le critère d’entropie  de Kaimanovich Vershik et Derriiennic, caractérisation  de groupes moyennables par l’existence de la mesure dont le bord de Poisson est trivial (Furstenberg, Rosenblatt, Kaimanovich Vershik).

À la fin du cours nous prévoyons de discuter des progrès très récents dans le domaine, tels que la construction des mesures dont le bord de Poisson est non trivial sur tous les groupes de type fini, à l’exception de groupes virtuellement nilpotents (Hartmann, Frisch, Tamuz et Vahidi-Ferdowsi, 2018).
Aucun prérequis spécifique en probabilité n’est requis.