Déformations de groupes discrets dans les groupes de Lie

Ects : 6
Compétence à acquérir :
Ce cours se veut une introduction progressive à la théorie des représentations Anosov, développée durant les quinze dernières années. Cette introduction sera guidée par les questions suivantes :
- Quand un sous-groupe discret G d’un groupe de Lie G peut-il être déformé ? (i.e. quand existe-t-il une famille à un paramètre non triviale de morphismes ?t : G ? G telle que ?0 est l’inclusion ?)
- Lorsque de telles déformations existent, quelles propriétés dynamiques et géométriques du groupe discret préservent-elles ?

Dans un premier temps, afin d’illustrer les phénomènes de rigidité fréquents dans ce contexte, nous démontrerons le théorème de rigidité locale des réseaux (théorème de Calabi—Weil) et nous énoncerons les autres grands théorèmes de rigidité (Mostow, Margulis…).

En regard de ces résultats de rigidité, nous présenterons ensuite de nombreux exemples explicites de déformations de groupes discrets. Nous décrirons en particulier certains aspects des variétés de caractères des groupes de surfaces, qui font l’objet d’une recherche active.

Enfin, nous nous intéresserons aux propriétés géométriques et dynamiques des groupes discrets qui sont préservées par déformation. Nous introduirons alors la notion de morphisme Anosov, qui fournit un cadre unifié à l’étude de nombreuses déformations d’origine géométrique (représentations quasi- fuchsiennes, convexes divisibles, variétés anti-de Sitter globalement hyperboliques).

Les thématiques abordées dans ce cours sont proches de celles du cours « Variété des caractères et structures hyperboliques en dimension 3 » du Master de Paris 6. Bien qu’indépendant, ce cours gagnera à être suivi après celui d’Antonin Guilloux.