1ère année de Master - Mathématiques Approfondies

L'année de formation

UE Obligatoires

  • Pré-rentrée mise à niveau : Analyse

    Pré-rentrée mise à niveau : Analyse

  • Pré-rentrée mise à niveau : statistique

    Pré-rentrée mise à niveau : statistique

    Description du contenu de l'enseignement :
    - Révision des programmes de probabilité-statistique du L1 au L3.
    - Révision des grands résultats d’analyse de L3 : Topologie dans les espaces métriques, espaces vectoriels normés, espaces de Banach (Riesz, critère de sommabilité). Théorie de la mesure e

  • Processus discrets

    Processus discrets

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Introduction à la modélisation aléatoire dynamique.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Espérance conditionnelle.
    Martingales. Stratégies. Convergence des martingales. Arrêt optionnel.
    Chaînes de Markov.

  • Contrôle des chaînes de Markov

    Contrôle des chaînes de Markov

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Introduire à travers l’étude de cas simples les idées du contrôle stochastique et montrer l’importance de ces idées dans des applications courantes, en finance notamment.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Rappels et compléments sur les chaînes de Markov et les temps d’arrêt.
    Analyse du problème d’arrêt optimal en horizon fini.
    Stratégies optimales et chaînes de Markov contrôlées.

  • Méthodes Monte-Carlo

    Méthodes Monte-Carlo

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    L’objectif de ce cours est d’introduire les méthodes dites de Monte-Carlo. Ces méthodes sont utilisées pour calculer des espérances (et par extension des intégrales) par simulation. Les domaines d’applications sont variés et vont de la physique à la finance de marché. L’objectif de ce cours est non seulement de fournir les bases théoriques des méthodes de Monte-Carlo, mais aussi de fournir les outils pour leur utilisation pratique.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Introduction de la méthode de Monte-Carlo.
    Simulations de variables aléatoires.
    Techniques de réduction de variance.
    Introduction aux suites à discrépance faible.

  • Analyse fonctionnelle

    Analyse fonctionnelle

    Ects : 8
    Compétence à acquérir :
    Le cours présente des méthodes d’analyse fonctionnelle pour résoudre des équations aux dérivées partielles.

    Description du contenu de l'enseignement :
    1. Exemples d’EDP, formules de représentation, principe du maximum
    2. Espaces de Sobolev en dimension d=1 et résolution d’équations elliptiques linéaires par Lax-Milgram.
    3. Compacité. Théorème d’Ascoli.
    4. Convergence faible (cadre hilbertien)
    5. Introduction au calcul des variations
    6. Diagonalisation des opérateurs auto-adjoints compacts.

  • Optimisation

    Optimisation

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    L’objectif de ce cours est, d’une part, de reprendre l’optimisation dans Rn et, d’autre part, d’étudier les techniques de programmation dynamique déterministe qui sont fondamentales dans les applications.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Optimisation dans Rn (cas général et cas convexe).
    Optimisation sous contrainte d’égalité, d’inégalité.
    KKT, cas convexe, lemme de Farkas, dualité.
    Techniques de programmation dynamique : programmation dynamique en temps discret (problèmes en horizon fini ; problèmes en horizon infini avec coût escompté),
    Introduction à la théorie du contrôle optimal (principe de Pontriaguine, équation de Hamilton-Jacobi-Bellman).

  • Anglais 1

    Anglais 1

    Ects : 2
    Compétence à acquérir :
    Fournir aux étudiants les outils linguistiques nécessaires pour fonctionner efficacement dans l’entreprise et avec leurs partenaires européens.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Actualité économique en anglais : exercices d’écoute (radio, TV) ; exposés individuels ; exercices de compréhension et d’expression écrite (articles de la presse économique ; documentaires de la télévision britannique et américaine).
    Préparation au TOEIC : Test of English for International Communication.

  • Anglais Culture et Civilisation

    Anglais Culture et Civilisation

UE Optionnelles

  • Modèles linéaires et ses généralisations

    Modèles linéaires et ses généralisations

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Ce cours vise à décrire la construction et l’analyse des divers modèles paramétriques de régression linéaire et non-linéaire reliant un groupe de variables explicatives à une variable expliquée. Il correspond à un premier cours d’économétrie dans le Master. Il inclut également des TP pour l’apprentissage et utilisation du langage de programmation SAS.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Moindres carrés ordinaires et généralisés. Cas normal et propriétés asymptotiques. Tests de Fisher et tests asymptotiques. Le modèle d’analyse de la variance.
    Hétéroscédasticité - Définition, conséquences, moindres carrés généralisés et quasi-généralisés, application aux données de panel.
    Endogénéité des répresseurs et variables instrumentales, moindres carrés indirects et double-moindres carrés, tests de spécification. Équations simultanées : formes structurelle et réduite, modèles SUR, 3-stage least squares.
    Modèles linéaires généralisés, formalisation, modèles logit, probit, tobit et généralisations.
    Modèles de durée et modèles de données de comptage.

  • Gestion de portefeuille

    Gestion de portefeuille

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Ce cours est une introduction aux méthodes quantitatives de traitement des données financières et de gestion de portefeuille. L’objectif du cours est de donner un bagage minimal en théorie moderne de la gestion quantitative afin de pouvoir traiter des problèmes pratiques de finance de marché et d’aborder les cours plus spécialisés de finance ou d’économétrie.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Théorie de Markowitz pour le choix de portefeuille (critère moyenne-variance ; notion de portefeuille efficient ; mesure de risque : la Value at Risk)
    Le Modèle d’Équilibre Des Actifs Financiers (MEDAF) (équilibre du marché ; notion de portefeuille de marché et application à la gestion de SICAV ; mesure de performance et notion de beta d’un portefeuille).
    APT et modèles à facteurs : fondements et pratiques empiriques. Critique empirique du CAPM. L’approche de Ross. Bases d’un modèle statique à facteurs. Mises en œuvre empiriques, difficultés pratiques. Interprétations économiques des facteurs. Conséquences pour la gestion.
    Assurance de portefeuille.

  • Série temporelles

    Série temporelles

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Comprendre les mathématiques du filtrage et du traitement de l’information et les principes de la numérisation des signaux. Avoir une vision globale des techniques du traitement de l’information.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Échantillonnage
    Quantification
    Compression sans perte et correction d’erreurs
    L’algorithme FFT
    Filtres numériques
    Conception de filtres numériques
    Compression avec perte, introduction au MP3

  • Classical Gravitation

    Classical Gravitation

    Ects : 4
    Volume horaire : 30

UE Obligatoires

  • Mouvement brownien et évaluation des actifs contingents

    Mouvement brownien et évaluation des actifs contingents

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Étude du mouvement Brownien et son utilisation pour la modélisation des prix des actifs financiers. Présenter la méthodologie de l’évaluation d’actifs en Absence d’opportunités d’Arbitrage dans des modèles en temps continu et présenter le modèle de Black et Scholes.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Évaluation d’actifs contingents en absence d’opportunités d’arbitrage : cadre du temps discret opportunités d’arbitrage ; stratégies de réplication et évaluation ; modèle de Cox-Ross et Rubinstein.
    Introduction au calcul stochastique en temps continu (mouvement Brownien ; intégrale d’Itô).
    Modèle de Black et Scholes (modèle de marché en temps continu ; équation de Black et Scholes et prix d’options ; définition et utilisation des grecques).

  • Processus de Poisson

    Processus de Poisson

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Introduction des processus à temps continus fondamentaux en probabilités, tels que les chaînes de Markov à espace d’états dénombrable et les processus de renouvellement. Présentation de la théorie du renouvellement et de la théorie des files d’attente.

    Description du contenu de l'enseignement :
    - Définitions et propriétés importantes des processus de Poisson (loi jointe des temps sauts, comportements asymptotiques).
    - Définitions des processus de renouvellement généraux.
    - Introduction de la théorie du renouvellement et théorème principaux (Théo

  • Analyse convexe approfondie

    Analyse convexe approfondie

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Introduction aux principaux aspects de l’analyse convexe (géométrique, analytiques) et à ses applications en optimisation.

    Description du contenu de l'enseignement :
    1. Ensembles convexes (intérieur, fermeture, intérieur relatif, points extrémaux, jauge...)
    2. Régularité des fonctions convexes (continuité, dérivée directionnelle, différentiabilité).
    3. Hahn-Banach analytique et géométrique, applications (théorèmes de séparation, Farkas et Krein Millman).
    4. Optimisation : conjuguée de Fenchel, sous différentiels (sous différentiel d’une somme), cône normal, KKT, théorème de Fenchel-Rockafellar.
    5. Convexité et convergence faible (dans les espaces de Hilbert), application à l’algorithme du point proximal.

  • Processus continus approfondis

    Processus continus approfondis

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Ce cours est une introduction au calcul stochastique. Il vise en particulier à donner aux étudiants souhaitant suivre des cours de finance mathématique les bases nécessaires à la compréhension des objets manipulés. Il est aussi nécessaire pour les étudiants voulant poursuivre leurs études en Statistique des processus.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Processus à temps continu, mouvement brownien, notions sur les EDS, applications en finance (B& S) et en physique (diffusions).

  • Géométrie et équations différentielles

    Géométrie et équations différentielles

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Ce cours est une introduction à la géométrie et à ses relations avec les systèmes dynamiques.

    Description du contenu de l'enseignement :
    1. L’inversion locale et Cauchy-Lipschitz dans les espaces de Banach
    2. Introduction aux systèmes dynamiques. Classification linéaire des points fixes des difféomorphismes ou des champs de vecteurs
    3. Rappels sur les surfaces. Espace tangent. Coordonnées locales. Champs de vecteurs tangents et équations différentielles
    4. EDP scalaires du premier ordre. Méthode des caractéristiques.
    5. Méthode de la variation de la constante. Théorie des perturbations.
    6. Exemple de système dynamique hyperbolique. Chaos. Stabilité structurelle

  • Anglais 2

    Anglais 2

    Ects : 2
    Compétence à acquérir :
    Fournir aux étudiants les outils linguistiques nécessaires pour fonctionner efficacement dans l’entreprise et avec leurs partenaires européens.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Actualité économique en anglais : exercices d’écoute (radio, TV) ; exposés individuels ; exercices de compréhension et d’expression écrite (articles de la presse économique ; documentaires de la télévision britannique et américaine).
    Préparation au TOEIC : Test of English for International Communication.

  • Mémoire de recherche

    Mémoire de recherche

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Apprentissage par la recherche et approfondissement d’un thème du parcours.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Rédaction d’un projet par groupe de 2 ou 3 étudiants sur un thème proposé par un enseignant du parcours.

  • Anglais Culture et Civilisation

    Anglais Culture et Civilisation

UE Optionnelles

  • Introduction à la statistique non paramétrique

    Introduction à la statistique non paramétrique

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Décrire les méthodes d’analyse statistique qui permettent de s’affranchir de la connaissance d’un modèle de forme trop contraint.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Estimation de densité
    Modèle de régression, modèle de suites gaussiennes
    Problèmes de grandes dimensions
    Test de signe et test de rang
    Estimateurs par noyaux, estimateurs par projection, estimateurs par polynômes locaux
    Validation croisée

  • Méthodes numériques : problèmes dépendant du temps

    Méthodes numériques : problèmes dépendant du temps

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Présentation de méthodes de résolution numérique des problèmes d’évolution et d’éléments d’analyse numérique. Mise en œuvre : utilisation de MatLab et de GNU Octave (travaux pratiques et projet).

    Description du contenu de l'enseignement :
    Équations Différentielles Ordinaires : Euler Implicite, Runge Kutta, consistance, stabilité, A-stabilité
    Contrôle optimal, problèmes adjoints
    Équations Différentielles Stochastiques : Euler Maruyama, Milstein

  • Apprentissage statistique

    Apprentissage statistique

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Connaître les bases de l’apprentissage statistique et les méthodes les plus courantes, en particulier dans un contexte de grande dimension.

    Description du contenu de l'enseignement :
    - Qu’est-ce que l’apprentissage ? Notions de sur et sous-apprentissage.
    - Régression linéaire en grande dimension (Ridge et Lasso).
    - Classification supervisée : introduction aux machines à vecteur de support et aux k-plus proches voisins.
    - Forêts alé

  • Allemand 1&2

    Allemand 1&2

    Ects : 4
  • Espagnol 1&2

    Espagnol 1&2

  • Gravitation of extended bodies and galaxies

    Gravitation of extended bodies and galaxies

    Ects : 4
    Volume horaire : 30
  • SAS, Excel, Matlab

    SAS, Excel, Matlab

    Compétence à acquérir :
    Mise à niveau sur les logiciels SAS, Excel, Matlab, susceptibles d’être utilisés en projet et souvent exigés pour les stages.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Apprentissage de SAS, Excel, Matlab.

Formation année universitaire 2020 - 2021 - sous réserve de modification


Modalités pédagogiques

La formation démarre en septembre, dont la présence en cours est obligatoire.
Les enseignements sont organisés en semestres 1 et 2. Chaque semestre est constitué d'un bloc fondamental et d'Unités d'Enseignements optionnelles suivant la répartition donnée. Chacun des deux blocs fondamentaux est composé de plusieurs UE. A chaque UE est associé un certain nombre de crédits européens (ECTS) ; à chaque bloc est associée la somme des ECTS associés aux UE composant le bloc.
La note finale de première session d'une UE est obtenue par pondération entre des notes de contrôle continu, de projet, d'examens partiels et terminaux. La note de contrôle continu peut faire intervenir plusieurs éléments : projets, devoirs, interrogations écrites ou orales, note de participation, assiduités... Toute UE pour laquelle l'étudiant a obtenu une note finale supérieure ou égale à 10/20 est définitivement acquise ainsi que les ECTS associés.

Un bloc est compisé d'une ou plusieurs UE. A chaque bloc est attribuée une note finale. Celle-ci est calculée par une somme pondérée des notes finales des UE constituant le bloc, le poids de la note finale d'une UE étant égal aux ECTS associés à l'UE.
Un bloc dont la note finale et supérieure ou égale à 10/20 est définitivement acquis ainsi que tous les ECTS associés au bloc (somme des ECTS des UE composant le bloc), sous réserve que la note finale de chaque UE composant le bloc soit supérieure ou égale à 5/20.

Chaque semestre est composé d'un bloc fondamental et d'UE optionnelles. La finale d'un semestre est calculée comme somme pondérée des notes finales de toutes les UE constituant le semestre, le poids de la note finale d'une UE étant égal aux ECTS associés à l'UE.
Un semestre est définitivement acquis (ainsi que les ECTS associés, domme des ECTS de chaque UE composant le semestre) si toutes les conditions suivantes sont vérifiées :

  • Il est constitué d'au moins 30 ECTS et sa note finale est supérieure ou égal à 10/20
  • La note finale du bloc fondamental du semestre est supérieure ou égale à 8/20
  • La note finale de chaque UE du bloc fondamental du semestre est supérieure ou égale à 5/20


La validation d'une année entraîne la validation de chacun des deux semestres et de toutes les UE les composant ainsi que de tous les ECTS associés. La note finale d'une année se calcule par une somme pondérée des notes finales de toutes les UE constituant l'année, le poids de la note finale d'une UE étant égal aux ECTS associés à l'UE. La note de sport peut donner lieu à un bonus. Cette note ne sera prise en compte que si elle est supérieure ou égale à 10/20, et si la note finale de l'année est supérieure ou égale à 10/20 ; un bonus égale à [note -10]/30 est alors rajouté à la note finale de l'année.
Une année est définitivement acquise (ainsi que les 60 ECTS associés) si toutes les conditions suivantes sont vérifiées :

  • Elle est constituée d'au moins 60 ECTS et la note de l'année est supérieure ou égale à 10/20
  • La note finale de chacun des deux blocs fondamentaux de l'année est supérieure ou égale à 8/20
  • La note finale de chaque UE des blocs fondamentaux de l'année est supérieure ou égale à 5/20


Stages et projets tutorés

Stage non obligatoire