Mathématiques de l'Assurance de l'Economie et de la Finance - 2ème année de Master

L'année de formation

UE Obligatoires

  • Calcul stochastique

    Calcul stochastique

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    The first part of the course presents stochastic calculus for continuous semi-martingales. The second part of the course is devoted to Brownian stochastic differential equations and their links with partial differential equations. This course is naturally followed by the course “Jump processes”. Lecture notes will be hopefully available.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Ce cours fondamental présente en profondeur le calcul stochastique pour les semi-martingales continues. La seconde partie est consacrée aux EDS Browniennes et aux liens avec les EDP. Il est complété par le cours »Processus à sauts ». Il fait l’objet d’un polycopié.

    Rappels de probabilité.
    Processus aléatoires, mouvement brownien, semi-martingales continues.
    Intégrale stochastique, formule d’Itô pour les semi-martingales et théorème de Girsanov.
    Equations différentielles stochastiques, processus de diffusion.
    Formule de Feynman-Kac et liens avec l’équation de la chaleur.
    Représentation probabiliste de la solution du problème de Dirichlet.

  • Contrôle stochastique

    Contrôle stochastique

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    Les EDP et les problèmes de contrôle stochastique apparaissent naturellement en contrôle des risques, évaluation d’option, calibration, gestion de portefeuille, liquidation optimale d’ordre... L’objectif de ce cours est d’étudier les techniques fines associées et notamment de présenter en profondeur la notion de solution de viscosité qui s’est imposée ces dernières années.

    Description du contenu de l'enseignement :
    1. Espérances conditionnelles et EDP linéaires paraboliques
    2. Formulation de problèmes de contrôle stochastique standards
    3. Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman
    4. Application à la gestion de portefeuille, aux problèmes d’arrêt optimal et de switching.

  • Méthodes de Monte-Carlo et méthodes déterministes pour les équations paraboliques

    Méthodes de Monte-Carlo et méthodes déterministes pour les équations paraboliques

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    Ce cours présente en profondeur les principales techniques d’évaluation d’options par technique de Monte-Carlo, ainsi que les méthodes de différences finies pour les équations paraboliques.

    Description du contenu de l'enseignement :
    • Généralités sur les méthodes de Monte-Carlo
    1. Généralités sur la convergence des estimateurs des moments
    2. Générateurs de loi uniforme
    3. Simulation d’autres lois (méthode de rejet, transformation ….)
    4. Suites à discrépance faible

    • Méthodes de réduction de variance
    1. Contrôle antithétique
    2. Variable de contrôle
    3. Importance sampling

    • Simulation de processus et discrétisation de payoff
    1. Modèle de Black-Scholes
    2. Discrétisation d’EDS
    3. Ponts de diffusions et applications aux options asiatiques, à barrière et lookback.

    • Calcul des sensibilités (grèques)
    1. Approches par différences finies
    2. Grèques dans le modèle de Black-Scholes
    3. Processus tangent et grèques
    4. Calcul de Malliavin et grèques

    • Calcul d’espérances conditionnelles et évaluation d’options américaines
    1. Approche par Monte Carlo emboités
    2. Méthodes de régression (Tsitsiklis Van Roy, Longstaff Schwartz)
    3. Dualité de Rogers

    • Méthodes des différences finies : le cas linéaire
    1. Construction des schémas classiques (explicite, implicite, theta-schéma)
    2. Conditions de stabilité et de convergence

    • Méthodes des différences finies : le cas non-linéaire
    1. Schémas monotones : Conditions générales de stabilité et de convergence
    2. Exemples de schémas : problèmes variationnels, équations d’Hamilton-Jacobi-Bellman.

UE Optionnelles

  • Machine Learning en finance

    Machine Learning en finance

    Ects : 6
    Volume horaire : 21

    Description du contenu de l'enseignement :
    Some Statistical Learning results are presented and applied in credit rating and for anomalies detection. The principal notions presented in the context of these two case studies in finance are:

    Introduction to Statistical learning: The Vapnik Chervonenkis dimension, PAC Learning and the Calibration versus Prediction paradigm.
    SVMs and Supervised Learning: SVM and maximum margin SVM classifiers and their VC dimensions, Mercer’s theorem and the Kernel trick, C-SVMs, mu-SVMs, A few words on SVMs for regressions.
    SVMs and Unsupervised Learning: Single class SVMs, clustering, anomaly detection, Equivalence of different approaches via duality.
    Introduction to Random Forests and Ensemble Methods: Bias variance Tradeoff, Bootstrap method, Model selection, pruning: Gini and entropy measures
    Introduction to Neural Networks: Backpropagation, conjugate functions different type of architectures, deep learning.
    Remarks on Parsimony: The Linear Model with Ridge and Lasso penalisations, Dual interpretation of Lasso.

  • Optimisation

    Optimisation

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    L’objectif de ce cours est d’apprendre à reconnaître, manipuler et résoudre une classe relativement large de problèmes convexes émergents dans des domaines comme, par exemple, l’apprentissage, la finance ou le traitement du signal.

    Description du contenu de l'enseignement :
    This course will review the mathematical foundations for Machine Learning, as well as the underlying algorithmic methods and showcases some modern applications of a broad range of optimization techniques.
    Optimization is at the heart of most recent advances in machine learning. This includes of course most basic methods (linear regression, SVM and kernel methods). It is also the key for the recent explosion of deep learning which are state of the art approaches to solve supervised and unsupervised problems in imaging, vision and natural language processing.
    This course will review the mathematical foundations, the underlying algorithmic methods and showcases some modern applications of a broad range of optimization techniques. The course will be composed of both classical lectures and numerical sessions in Python. The first part covers the basic methods of smooth optimization (gradient descent) and convex optimization (optimality condition, constrained optimization, duality). The second part will features more advanced methods (non-smooth optimization, SDP programming,interior points and proximal methods). The last part will cover large scale methods (stochastic gradient descent), automatic differentiation (using modern python framework) and their application to neural network (shallow and deep nets).

  • Evaluation d'actifs financiers et arbitrages

    Evaluation d'actifs financiers et arbitrages

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    L’objectif de ce cours est de fournir aux étudiants les bases mathématiques solides nécessaires à la compréhension des modèles et techniques d’évaluation d’option et de couverture des risques.

    Description du contenu de l'enseignement :
    L’objectif de ce cours est de fournir aux étudiants les bases mathématiques solides nécessaires à la compréhension des modèles et techniques d’évaluation d’option et de couverture des risques. Il fait l’objet d’un polycopié.

    Marchés financiers en temps discret
    – Rappels sur le modèle de Cox-Ross-Rubinstein
    – Evaluation et couverture d’options européennes
    – Evaluation et couverture d’options américaines, stratégie d’exercice optimale
    – Passage à la limite et approximation du modèle de Black et Scholes

    Marchés financiers en temps continu
    – Modélisation mathématique
    – Théorèmes fondamentaux d’absence d’opportunité d’arbitrage : Arbitrage vs No Free Lunch with Vanishing Risk
    – Evaluation et couverture des options européennes (approche probabiliste et par EDP pour les options vanilles, asiatiques et à barrière)
    – Options américaines (approche probabiliste et par EDP)
    – Gestion optimale de portefeuille et minimization de risque (approche probabiliste)
    – Modélisation de la volatilité et couverture (Dupire, tracking error, Heston, CEV, SABR,…)
    – Techniques de changement de numéraire et concept de mesure forward neutre
    – Couverture semi-statique (exemple du swap de variance)
    – Evaluation par transformation de Fourrier

  • Modélisation stochastique de la courbe de taux

    Modélisation stochastique de la courbe de taux

    Ects : 2
    Compétence à acquérir :
    Ce cours est consacré aux modèles de taux d’intérêts à temps continu. Au travers de nombreux exemples, on décrira leurs utilisations pour évaluer les produits dérivés sur taux d’intérêt.

    Description du contenu de l'enseignement :
    1. Quelques outils de calcul stochastique : rappels
    2. Généralités sur les taux d’intérêt
    3. Produits de taux classiques
    4. Modèle LGM à un facteur
    5. Modèle BGM (Brace, Gatarek et Musiela) / Jamishidian
    6. Modèles à volatilité stochastique

  • Processus à sauts

    Processus à sauts

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    Ce cours vise à maîtriser les techniques d’analyse et de calcul stochastique propres aux processus à sauts. Il vient en complément du cours « Calcul stochastique » qui se limite aux processus à trajectoires continues.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Processus de Poisson, processus de Poisson composés,
    Distributions infiniment divisibles,
    Mesures aléatoires de Poisson,
    Processus de Lévy,
    Décomposition de Lévy-Khintchine,
    Formule d'Itô pour les processus de Lévy,
    Équations différentielles stochastiques dirigées par un processus de Lévy,
    Equivalence des mesures, exponentielle de Doleans-Dade, théorème de Girsanov
    Modèle de Merton
    Processus de Hawkes

  • Théorie des jeux, applications en économie et en finance

    Théorie des jeux, applications en économie et en finance

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    The first part deals with the basics of game theory, the second one with applications in economics and finance. There will only be time to study 2 of the 3 applications (to be decided).
    - Basics of game theory:
    - 1. Zero-sum games: value, optimal strategies, saddle points, minmax theorem.
    - 2. N players normal form games: equilibria in dominant strategies, Nash equilibria, dominated strategies, Nash’s existence theorem.
    - 3. Extensive form: backward induction, subgame perfection, theorem of Kuhn-Zermelo, behavior strategies and Kuhn’s theorem.
    - Applications:
    - 4. Repeated games and cooperation, folk theorems.
    - 5. Zero-sum repeated games with incomplete information on one side (Aumann-Maschler’s model). Splitting lemma, uniform value.
    - 6. Zero-sum stochastic games: dynamic structure, Shapley operator, theorems of Bewley-Kohlberg and Mertens-Neyman.
  • Fondamentaux Macro-économiques de la gestion de portefeuille

    Fondamentaux Macro-économiques de la gestion de portefeuille

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    Les gestionnaires de portefeuille ont besoin de posséder certaines connaissances macroéconomiques de base pour mieux fonder leurs décisions d’investissement. La valeur dite fondamentale des différents actifs financiers ne peut être analysée sans une prise en compte des évolutions macroéconomiques prévisibles à moyen et long terme. De plus, les performances de court terme des différentes classes d’actifs financiers dépendent crucialement des indicateurs macro-économiques, notamment en matière d’inflation et de croissance. Ce cours présentera notamment les méthodes dominantes utilisées par les praticiens de marché (économistes de marché, gestionnaires…) pour analyser et anticiper les évolutions macro-économiques, ainsi que les inflexions de politique monétaire. Il a une vocation appliquée et vise à donner à de futurs gestionnaires une bonne connaissance des instruments pratiques de prévision macroéconomique ainsi que des indications sur la meilleure façon d’utiliser ces instruments pour améliorer la performance de leur gestion.
  • Structure par terme et marchés dérivés des matières premières

    Structure par terme et marchés dérivés des matières premières

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    1. The development of derivative markets
    2. Normal backwardation theory
    3. The theory of storage
    4. The term structure of commodity prices: dynamic behaviour and models
    5. Applications of term structure models: investment and dynamic hedging
    6. Options on commodities

UE fondamentale

Bloc 1 : Apprentissage pour l'économie et la finance

  • Modélisation à haute fréquence

    Modélisation à haute fréquence

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    Ce cours introduit les propriétés empiriques des données financières à travers les échelles sous l'angle de la finance statistique.

    Description du contenu de l'enseignement :
    - Marchés et Produits financiers
    - Carnets d’ordre
    - Quelques notions de base en théorie de l’estimation
    - Séries financières haute fréquence
    - Faits stylisés de séries journalières – Modèles
    - Saisonnalité de la volatilité - Faits stylisés intraday

  • Introduction à l'apprentissage par renforcement

    Introduction à l'apprentissage par renforcement

    Ects : 3

    Description du contenu de l'enseignement :
    This introductory course will provide the main methodological building blocks of reinforcement learning.
    Reinforcement Learning (RL) refers to situations where the learning
    algorithm operates in close-loop, simultaneously using past data to adjust
    its decisions and taking actions that will influence future observations.
    Algorithms based on RL concepts are now commonly used in programmatic
    marketing on the web, robotics or in computer game playing. All models for
    RL share a common concern that in order to attain one's long-term
    optimality goals, it is necessary to reach a proper balance between
    exploration (discovery of yet uncertain behaviors) and exploitation
    (focusing on the actions that have produced the most relevant results so
    far).


    This introductory course will provide the main methodological building
    blocks of reinforcement learning. Some basic notions in probability theory
    are required to follow the course. The course will imply some work on
    simple implementations of the algorithms, assuming familiarity with common
    scientific computing language.


    Program

    1. Multiarmed bandits, Markov Decision Processes and other models
    2. Planning: finite and infinite horizon problems, the value function,
    Bellman equations, dynamic programming, value and policy iteration

    3. Probabilistic and statistical tools for RL: Bayesian models, relative
    entropy and hypothesis testing, concentration inequalities, linear
    regression, the stochastic approximation algorithm

    4. RL algorithms for multiarmed bandits: the explore vs. exploit
    compromise, bandit algorithms vs. A/B testing, UCB, Thomson sampling,
    contextual bandits

    5. RL algorithms for Markov Decision Processes: off policy and on policy
    learning, Q-learning, SARSA, Monte Carlo tree search

  • Méthodes de Monte-Carlo par chaine de Markov

    Méthodes de Monte-Carlo par chaine de Markov

    Ects : 4
    Compétence à acquérir :
    Ce cours vise a présenter les bases et les développements récents des méthodes de simulation utilisées en statistique et surtout en statistique bayésienne. Les méthodes de calcul, de maximisation et d’intégration en dimension élevée sont en effet devenues nécessaires pour traiter les modèles complexes envisages dans les disciplines utilisatrices de la statistique, comme l’économétrie, la finance, la génétique, l’écologie ou l’épidémiologie (entre autres !). La principale innovation des dix dernières années est l’introduction de techniques markoviennes pour l’approximation des lois de probabilité (et des intégrales correspondantes). Elle forme donc la partie centrale du cours, mais nous aborderons également les systèmes de particules et les méthodes d’optimisation stochastique comme le recuit simulé.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Motivations
    Méthodes de Monte-Carlo
    Rappels sur les chaines de Markov
    La méthode de Metropolis-Hastings
    L’échantillonneur de Gibbs
    L’échantillonnage parfait
    Méthodes de Monte-Carlo séquentielles

Bloc 2 : Finance et gestion des risques

  • Pratique des produits structurés en finance et assurance

    Pratique des produits structurés en finance et assurance

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    L’objectif de ce cours est double :
    1. Entrainer les étudiants à l’évaluation pratique des produits dérivés et au contrôle des risques associés.
    2. Les initier aux nouveaux produits structurés hybrides qui sont récemment apparus en assurance.
  • Gestion globale des risques : VAR

    Gestion globale des risques : VAR

    Ects : 3
    Compétence à acquérir :
    Analyse des modèles mathématiques du risque de marché, étude des méthodes de gestion globales du risque de marché lorsque les sources d’incertitude sont multiples.

    Description du contenu de l'enseignement :
    Introduction. Modèles dynamiques pour les prix d’actifs financiers. Agrégation des risques, normalité, asymétrie, queues de distributions épaisses. La valeur risquée. Définition et méthodologies de calcul de la VaR (historiques, Monte Carlo, analytiques). Présentation de RiskMetrics de J.P. Morgan. Données, méthodologie, interprétations. Application. La cartographie de RiskMetrics, risque sur les instruments financiers comptants et produits dérivés. Estimation des matrices de variances-covariances, volatilités et corrélations.

  • Microstructure des marchés financiers

    Microstructure des marchés financiers

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    Première partie : typologie des organisations de marchés
    1. Marchés dirigés par les ordres
    2. Marchés dirigés par les prix
    3. Structures hybrides
    4. Évolutions récentes (MTF, CN, dark pools, market making électronique, etc.)

    Deuxième partie : modélisation
    1. Formation des prix sur un marché de contrepartie : Paradigmes de la position et de l’asymétrie d’information
    2. Formation des prix sur les marchés dirigés par les ordres : Modèles statiques et dynamiques.

    Troisième partie : aspects empiriques
    1. Coûts de transaction implicites
    2. Prix et information
    3. Risque de liquidité
  • Contrôle stochastique et marchés de l'énergie

    Contrôle stochastique et marchés de l'énergie

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    Energy markets are a natural field of applications for stochastic control modelling framework. Historical applications go from water management to the pricing of swing and demand-side contracts. With the deregulation of electricity and gas markets, new applications have raised the attention of financial economists. In particular, the question of the optimal investment in generation assets in the context of climate change and the questions linked to retail competition. These domains are conducive to the utilization of stochastic differential games. This course is intended to provide a short introduction to the physics of energy market and extensive applications taken for financial and economical research papers. For their evaluation, students are expected to realize a study of a research paper for which they will provide a critical analysis of their understanding of the model, together with the reproduction of the results of the paper.

Bloc 3 : Economie et jeux

  • Théorie des jeux à champ moyen

    Théorie des jeux à champ moyen

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    Les jeux de champ moyen sont une théorie nouvelle développée par Jean-Michel Lasry et Pierre-Louis Lions qui traduit la limite quand le nombre de joueurs tend vers l’infini dans des jeux différentiels stochastiques. Cela donne lieu à un système nouveau d’équations aux dérivées partielles couplant une équation d’Hamilton-Jacobi (backward) à une équation de Fokker-Planck (forward). Nous présenterons dans ce cours quelques résultats d’existence, d’unicité et les connections avec le contrôle optimal, le transport de masse et certaines équations aux dérivées partielles posées sur l’espace des mesures de probabilité.
  • Problèmes variationnels et de transport en économie

    Problèmes variationnels et de transport en économie

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    1. Dualité
    2. Transport Optimal
    3. Applications économiques du transport
    4. Calcul des variations
    5. Le problème principal-agent
  • Contrôle des EDP, Contrôle quantique

    Contrôle des EDP, Contrôle quantique

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    Ce cours présente les méthodes mathématiques pour l’analyse et le contrôle de systèmes physiques intervenant en information quantique. Ces méthodes sont illustrées par des expériences récentes d’électrodynamiques quantique en cavité et de circuits quantiques, expériences qui préparent et protègent des états quantiques contre la décohérence, le principal obstacle à la réalisation d’un ordinateur quantique. Les modèles dynamiques utilisés reposent sur des équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles. Ces modèles s’appuient sur les lois de la mécanique quantique avec l’équation de Schrödinger. Ils peuvent comporter aussi des effets stochastiques très structurés et dus au fait que toute mesure perturbe inévitablement et de façon aléatoire le système considéré. Les méthodes mathématiques présentées reposent sur les notions fondamentales de feedback, de stabilité et de robustesse.

    Description du contenu de l'enseignement :
    - Introduction à la mécanique quantique : le système à deux niveaux (qubit), l’oscillateur harmonique et les systèmes composites formés de qubits et d’oscillateurs harmoniques.
    - Systèmes quantiques fermés, Équation de Schrödinger, Systèmes multi-échelles

  • Algèbre tropicale en optimisation et en jeux

    Algèbre tropicale en optimisation et en jeux

    Ects : 6
    Compétence à acquérir :
    Ce cours présente un certain nombre d’outils et résultats récents, inspirés de la géométrie tropicale, relatifs aux problèmes de contrôle ou de jeux répétés, déterministes ou stochastiques, avec une attention particulière pour les problèmes de paiement moyen ou en temps long ainsi que pour les aspects combinatoires et algorithmiques. Certains résultats sont illustrés par des exemples issus d’applications (optimisation du référencement, optimisation de la croissance en dynamique de population).

    Description du contenu de l'enseignement :
    Algèbre tropicale et structures de « caractéristique un » (semi-corps max-plus). Résolution de problèmes avec paiement moyen via des problèmes spectraux non-linéaires. Représentation des opérateurs de Shapley. Théorie de Perron-Frobenius non-linéaire, dynamiques monotones ou non-expansives. Existence du paiement moyen. Certificats de Collatz-Wielandt. Généralisation non-linéaire de l’algorithme de la puissance. Algorithmes d’itération sur les politiques. Résultats de complexité pour les jeux répétés.

Formation année universitaire 2020 - 2021 - sous réserve de modification


Modalités pédagogiques

La formation démarre en septembre, la présence en cours est obligatoire. Certains cours ont lieu à l’ENS ou à Sorbonne Université.

La formation comporte un tronc commun de cours fondamentaux obligatoires. Les options sont regroupées en trois blocs :

  • Apprentissage pour l’économie et la finance
  • Finance et gestion des risques
  • Economie et jeux.

Un total de 30 ECTS doit être validé par semestre. Au second semestre, les étudiants doivent valider au moins un cours par bloc. Il est recommandé aux étudiants de suivre un maximum de cours, même s’ils ne sont pas validés, afin d’accroitre leur culture générale et leurs connaissances techniques. Ceci concerne tout particulièrement celles et ceux souhaitant poursuivre leurs études par une thèse de doctorat.

Les étudiants qui souhaitent s’initier à la recherche académique peuvent opter pour le
Projet Individuel. Ce parcours valide l’équivalent de trois options du second semestre : la réalisation d’un travail de recherche encadré par un chercheur leur permet de s’initier à la recherche académique et de préparer une thèse dans les meilleures conditions.


Stages et projets tutorés

Les étudiants doivent effectuer un stage d’au moins 4 mois dans une entreprise ou dans un laboratoire de recherche. Les étudiants suivant le parcours Projet Individuel en sont dispensés.


 

 

Des programmes nourris par la recherche

Les formations sont construites au contact des programmes de recherche de niveau international de Dauphine, qui leur assure exigence et innovation.
La recherche est organisée autour de 6 disciplines toutes centrées sur les sciences des organisations et de la décision.

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