Soutenances de thèse
Analyse en composantes principales fonctionnelle : taux minimax sur une grille fixe et application aux processus ponctuels répliqués
22/10/2026 à 14h00
Télécharger le PDFM. Nassim BOURARACH présente ses travaux en soutenance le 22/10/2026 à 14h00
À l'adresse suivante : Université Paris Dauphine – PSL Salle des thèses - D520
En vue de l'obtention du diplôme : Doctorat en Sciences
La soutenance est publique
Titre des travaux
Analyse en composantes principales fonctionnelle : taux minimax sur une grille fixe et application aux processus ponctuels répliqués
École doctorale
École doctorale Dauphine SDOSE
Équipe de recherche
UMR 7534 - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
Section CNU
1 - Mathématiques et leurs interactions
Directeur(s)
Vincent RIVOIRARD
Membres du jury
| Nom | Qualité | Établissement | Role |
|---|---|---|---|
| M. Vincent RIVOIRARD | Professeur des universités | Université Paris Dauphine - PSL | Directeur de these |
| M. André MAS | Professeur des universités | Université de Montpellier | Rapporteur |
| Mme Fabienne COMTE | Professeur des universités | Université Paris Cité | Rapporteur |
| Mme Angelina ROCHE | Professeur des universités | Université Paris Cité | CoDirecteur de these |
| M. Franck PICARD | Directeur de recherche | CNRS | CoDirecteur de these |
| Mme Madalina OLTEANU | Professeur des universités | Université Paris Dauphine-PSL | Examinateur |
| Mme Sophie DABO | Professeur des universités | Université de Lille | Examinateur |
| M. Valentin PATILEA | Professeur des universités | ENSAI – CREST | Examinateur |
Résumé
Cette thèse s'inscrit dans le domaine de l'analyse des données fonctionnelles, c'est-à-dire l'étude statistique de courbes aléatoires. On y étudie comment les mécanismes d'observation et les choix de représentation influencent la construction, l'estimation et l'utilisation des composantes principales fonctionnelles. Elle traite deux situations complémentaires : l'estimation d'une cible fonctionnelle lorsque les trajectoires de processus stochastiques sur [0,1] sont observées imparfaitement, et la construction de coordonnées fonctionnelles pour des processus ponctuels répliqués sur [0,1], dont les réalisations sont entièrement observées.
La première partie considère n fonctions aléatoires observées uniquement aux p points d'une grille commune et de façon bruitée. Elle montre que la régularité du noyau de covariance ne suffit pas à garantir l'estimation minimax de ses fonctions propres : leur stabilité dépend aussi de quantités spectrales, notamment de la séparation autour du rang considéré. Des bornes inférieures minimax distinguent alors l'erreur d'échantillonnage, l'erreur de discrétisation et la difficulté spectrale. Le risque fait apparaître un terme inversement proportionnel au nombre de courbes, auquel s'ajoute un terme de discrétisation inversement proportionnel à p élevé à deux fois l'indice de régularité. Un estimateur par projection sur une base de coiflets atteint cette dépendance minimax optimale en taille d'échantillon et en résolution de grille pour différentes régularités. Des simulations illustrent la transition entre les régimes dominés par l'échantillonnage et par la discrétisation conformément à la théorie.
La seconde partie porte sur des processus ponctuels répliqués sur [0,1], représentés par leurs fonctions de comptage cumulées. À partir de ce plongement, la thèse exploite le modèle de Poisson inhomogène pour construire une géométrie intrinsèque liée à la mesure moyenne. Dans cette géométrie, la covariance cumulative admet une diagonalisation explicite. La loi jointe des D premiers scores d'ACP dans cet espace est caractérisée comme une loi de Poisson composée. À dimension fixée, une approximation gaussienne en variation totale est obtenue lorsque le nombre moyen d'événements augmente ; son erreur décroît comme l'inverse de la racine carrée de ce nombre moyen.
La thèse présente ensuite des estimateurs de ces scores dont le risque quadratique décroît comme l'inverse du nombre de répliques, pour un nombre fixé de coordonnées. Cette construction est adaptée à la classification binaire de processus ponctuels sur [0,1] : les observations sont projetées sur les D premiers scores définis dans une référence commune, puis comparées par une règle d'analyse discriminante quadratique. Une borne contrôle l'excès de risque par rapport à la règle de Bayes de l'expérience projetée sur ces D scores. Des simulations et une étude exploratoire de catalogues de séismes complètent l'analyse.