Processus multifractals et à volatilité rugueuse en finance statistique. Lien avec la microstructure de marché
12/06/2026 à 14h00
M. Othmane ZARHALI présente ses travaux en soutenance le 12/06/2026 à 14h00
À l'adresse suivante : Université Paris-Dauphine, PSL, Pl. du Maréchal de Lattre de Tassigny, 75016 Paris Salle des thèses - D520
En vue de l'obtention du diplôme : Doctorat en Sciences
La soutenance est publique
Titre des travaux
Processus multifractals et à volatilité rugueuse en finance statistique. Lien avec la microstructure de marché
École doctorale
École doctorale Dauphine SDOSE
Équipe de recherche
UMR 7534 - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
Section CNU
1 - Mathematiques et leurs interactions
Directeur(s)
Emmanuel BACRY
Membres du jury
| Nom | Qualité | Établissement | Rôle |
|---|---|---|---|
| M. Emmanuel BACRY | Directeur de recherche | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Directeur de these |
| M. Samuel COHEN | Professeur | University of Oxford | Rapporteur |
| Mme Giulia LIVIERI | Professeur | London School of Economics and Political Science | Rapporteur |
| M. Marc HOFFMANN | Professeur | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Examinateur |
| M. Mathieu ROSENBAUM | Professeur | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Examinateur |
| M. Jean-François MUZY | Directeur de recherche | Université de Corse | CoDirecteur de these |
| M. Jean-Philippe BOUCHAUD | Professeur | Académie des sciences et CFM | Examinateur |
Résumé
La modélisation de la volatilité occupe une place centrale en mathématiques financières, car elle mesure l'intensité et la persistance de l'incertitude dans les prix des actifs et conditionne leur évolution future. Les observations empiriques récentes montrent que la volatilité présente une forte irrégularité aux échelles fines — appelée rugosité — ainsi que des fluctuations invariantes par changement d'échelle caractéristiques d'un comportement multifractal. Ces propriétés dépassent le cadre des modèles classiques de volatilité stochastique fondés sur des diffusions et nécessitent un formalisme probabiliste capable d'intégrer simultanément rugosité, dépendance de longue portée et effets d'agrégation entre actifs et échelles temporelles.
Au cœur de cette thèse se trouve le modèle Log S-fBM, qui constitue un cadre unificateur reliant les modèles modernes de volatilité rugueuse aux mesures aléatoires multifractales. En paramétrant la covariance de la log-volatilité à l'aide d'un exposant de Hurst, d'un coefficient d'intermittence et d'une échelle de corrélation, ce modèle permet d'interpoler entre dynamiques de volatilité rugueuse et modèles multifractals à corrélation logarithmique lorsque l'exposant de Hurst tend vers zéro. Cette approche met en évidence des liens profonds entre la volatilité rugueuse contemporaine et les constructions issues des cascades aléatoires continues et du chaos multiplicatif gaussien.
Un axe central du travail concerne l'impact de l'agrégation et de la dépendance. Alors que les volatilités individuelles apparaissent extrêmement rugueuses, les quantités agrégées, telles que les indices boursiers, présentent des dynamiques plus régulières. La thèse propose un modèle structuré où la log-volatilité se décompose en composantes commune et idiosyncratique possédant des régularités distinctes. Cette idée est étendue à une version multidimensionnelle du Log S-fBM, dans laquelle la dépendance entre actifs est décrite par des matrices de co-Hurst et de co-intermittence, permettant une modélisation conjointe de la rugosité, de la multifractalité et des interactions entre actifs.
Sur le plan méthodologique, la thèse se concentre sur le régime de faible intermittence, cohérent avec les données empiriques. En exploitant la petitesse de ces paramètres, elle développe des approximations ramenant les mesures de log-volatilité à des équivalents gaussiens tractables, facilitant l'estimation statistique et l'inférence. Ces approximations sont étudiées théoriquement et empiriquement, avec un contrôle explicite du biais d'estimation dans des cadres univariés et multivariés.
Enfin, la nature non markovienne de ces modèles pose des défis computationnels importants, notamment pour la simulation des processus de Volterra. La thèse introduit des schémas de simulation accélérés fondés sur les Random Fourier Features, exploitant la structure spectrale du noyau de covariance du S-fBM afin de réduire fortement la complexité numérique tout en préservant les effets de mémoire. Associées à une analyse rigoureuse des erreurs, ces méthodes rendent possibles des simulations de Monte Carlo à grande échelle.
Dans son ensemble, ce travail propose un cadre probabiliste et statistique cohérent unifiant rugosité, multifractalité et dépendance multi-actifs, contribuant à la fois à la théorie des processus stochastiques non markoviens et à leurs applications en finance quantitative pour la modélisation du risque et des dynamiques de marché.