Sur les opérateurs de Schrödinger aléatoires dans le continu
27/06/2024 à 14h00
M. Yueh-Sheng HSU présente ses travaux en soutenance le 27/06/2024 à 14h00
À l'adresse suivante : Université Paris Dauphine - PSL Place du Maréchal de Lattre de Tassigny 75775 PARIS Cedex 16 - Salle des thèses - D520
En vue de l'obtention du diplôme : Doctorat en Sciences
La soutenance est publique
Titre des travaux
Sur les opérateurs de Schrödinger aléatoires dans le continu
École doctorale
École doctorale Dauphine SDOSE
Équipe de recherche
UMR 7534 - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
Section CNU
26 - Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Directeur(s)
M. Cyril LABBE
Membres du jury
| Nom | Qualité | Établissement | Rôle |
|---|---|---|---|
| M. Cyril LABBE | Professeur des universités | Université Paris Cité | Directeur de thèse |
| M. Giuseppe CANNIZZARO | Associate professor | University of Warwick | Rapporteur |
| Mme Anne DE BOUARD | Directeur de recherche | Ecole Polytechnique | Rapporteure |
| M. Mathieu LEWIN | Directeur de recherche | Université Paris Dauphine - PSL | Examinateur |
| M. Lorenzo ZAMBOTTI | Professeur des universités | Sorbonne Université | Examinateur |
Résumé
Cette thèse étudie les opérateurs de Schrödinger aléatoires dans un cadre continu, en particulier ceux avec un potentiel de bruit blanc gaussien. La définition de ces opérateurs différentiels estgénéralement non triviale et nécessite la renormalisation dans les dimensions $d geq 2$. Nous présentons d'abord un cadre général pour traduire le problème de construction de l'opérateur en EDPstochastique. Cette approche nous permet de définir l'opérateur en question, d'établir son auto-adjonction et d'étudier son spectre. Par la suite, nous passons à l'étude de l'Hamiltonien d'Andersoncontinu dans deux configurations spatiales distinctes : d'abord dans une boîte bornée de longueur latérale $L$ avec une condition de bord de Dirichlet nulle pour les dimensions $d leq 3$, et ensuitedans l'espace Euclidien $mathbb{R}^d$, pour $d in {2, 3}$. Dans le premier cas, l'opérateur admet des valeurs propres $lambda_{n,L}$, pour lesquelles nous identifions l'asymptotique presque sûrelorsque $L to infty$. Cet asymptotique est conforme aux résultats antérieurs dans la littérature pour les dimensions $1$ et $2$, tandis que notre résultat en dimension $3$ est nouveau. Dans le secondcas, nous proposons une nouvelle technique de construction en utilisant la théorie des solutions de l'équation parabolique associée, ce qui permet de prouver l'auto-adjonction et de montrer que lespectre est presque sûrement égal à $mathbb{R}$. Cette approche confirme le résultat récemment établi en dimension $2$ dans la littérature, cependant notre construction semble plus élémentaire ;pour la dimension $3$, notre résultat est nouveau. Enfin, nous présentons un projet en cours qui aborde le cas où un champ magnétique uniforme est appliqué au système : cela conduit à l'étude del'Hamiltonien de Landau perturbé par le potentiel de bruit blanc. Notre objectif est de définir l'opérateur dans l'espace $mathbb{R}^2$ sans recourir à une théorie de renormalisation sophistiquée.Cependant, la non-bornitude du bruit blanc sur $mathbb{R}^2$ pose des défis techniques supplémentaires. Pour surmonter cela, l'utilisation du théorème de Faris-Lavine est discutée.