Analyse statistique et probabiliste de systèmes diffusifs en présence de bruit.
22/10/2024 à 14h00
M. Raphaël MAILLET présente ses travaux en soutenance le 22/10/2024 à 14h00
À l'adresse suivante : Université Paris Dauphine - PSL Place du Maréchal de Lattre de Tassigny 75775 PARIS Cedex 16 - Salle des thèses - D520
En vue de l'obtention du diplôme : Doctorat en Sciences
La soutenance est publique
Titre des travaux
Analyse statistique et probabiliste de systèmes diffusifs en présence de bruit.
École doctorale
École doctorale Dauphine SDOSE
Équipe de recherche
UMR 7534 - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
Section CNU
26 - Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Directeur(s)
Monsieur Marc HOFFMANN et Monsieur Pierre CARDALIAGUET
Membres du jury
| Nom | Qualité | Établissement | Rôle |
|---|---|---|---|
| M. MARC HOFFMANN | Professeur des universités | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Directeur de thèse |
| M. PIERRE CARDALIAGUET | Professeur | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Directeur de thèse |
| M. PAUL GASSIAT | Maître de conférences | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Examinateur |
| Mme FABIENNE COMTE | Professeur des universités | Université Paris Cité | Rapporteure |
| M. DANIEL LACKER | Associate professor | Columbia University | Rapporteur |
| Mme EVA LOCHERBACH | Professeur des universités | Université Paris 1 Panthéon Sorbonne | Examinatrice |
| M. ARNAUD GLOTER | Professeur des universités | Université d'Évry Val d'Essonne | Examinateur |
| M. JEAN-FRANÇOIS CHASSAGNEUX | Professeur | Université Paris-Cité | Examinateur |
Résumé
Cette thèse traite du comportement en temps long des équations stochastiques de Fokker-Planck en présence d'un bruit commun additif et présente des méthodes statistiques pour estimer la mesure invariante des processus de diffusion ergodiques multidimensionnels à partir de données bruitées. Dans la première partie, nous analysons les équations différentielles partielles stochastiques de type Fokker-Planck non linéaires, obtenues comme la limite du champ moyen de systèmes de particules en interaction dirigés par des bruits browniens idiosyncrasiques et en présence de bruit commun. Nous établissons des conditions sous lesquelles l'ajout d'un bruit commun premet de restaurer l'unicité de la mesure invariante. La principale difficulté provient de la dimension finie du bruit commun, alors que la variable d'état -interprétée comme la loi marginale conditionnelle du système compte tenu du bruit commun - opère dans un espace de dimension infinie. Nous démontrons que l'unicité est rétablie dès lors que le terme d'interaction du champ moyen attire le système vers sa moyenne conditionnelle (par rapport au bruit commun), en particulier lorsque l'intensité du bruit idiosyncrasique est faible, qui sont des cas typiques de perte d'unicité en l'absence de bruit commun. Dans la deuxième partie, nous développons une méthodologie statistique afin d'approximer la mesure invariante d'un processus de diffusion à partir d'observations bruitées et discrètes de ce même processys. Cette méthode implique une technique de pré-moyennage des données qui réduit l'intensité du bruit tout en conservant les caractéristiques analytiques et les propriétés asymptotiques du signal sous-jacent. Nous étudions le taux de convergence de cet estimateur, qui dépend de la régularité anisotrope de la densité et de l'intensité du bruit. Nous établissons ensuite des conditions sur l'intensité du bruit qui permettent d'obtenir des taux de convergence comparables à ceux des cas sans bruit. Enfin, nous démontrons une inégalité de concentration de type Bernstein pour notre estimateur, ce qui premet de mettre en place une procédure adaptative pour la sélection de la fenêtre du noyau.