Application du Transport Optimal Entropique à l'Optique Anidolique
23/11/2021 à 13h30
M.Giorgi RUKHAIA présente ses travaux en soutenance le 23/11/2021 à 13h30
À l'adresse suivante : Université Paris Dauphine - PSL Place du Maréchal de Lattre de Tassigny 75775 PARIS Cedex 16 Salle des thèses - D520
En vue de l'obtention du diplôme : Doctorat en Sciences
La soutenance est publique
Titre des travaux
Application du Transport Optimal Entropique à l'Optique Anidolique
École doctorale
École doctorale Dauphine SDOSE
Équipe de recherche
UMR 7534 - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
Section CNU
26 - Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Directeur(s)
M. Jean-David BENAMOU
Membres du jury
| Nom | Qualité | Établissement | Rôle |
|---|---|---|---|
| M. Jean-David BENAMOU | Directeur de recherche | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Directeur de thèse |
| M. Bruno LEVY | Directeur de recherche | INRIA-Nancy | Rapporteur |
| M. Bernhard SCHMITZER | Professor | Georg-August-Universität Göttingen | Rapporteur |
| M. Quentin MERIGOT | Professeur des universités | Université Paris-Saclay | Examinateur |
| Mme Roya MOHAYAEE | Directeur de recherche | Institut d'Astrophysique de Paris (IAP) | Examinatrice |
| M. Wilbert IJZERMAN | Professor | Technische Universiteit Eindhoven | Examinateur |
Résumé
Dans ce travail, nous abordons un problème inverse en optique anidolique consistant à déterminer une surface capable de réfléchir une distribution de lumière source à une distribution cible en champ lointain, toutes deux prescrites. La source lumineuse peut être ponctuelle ou étendue. Lorsque la source est une source ponctuelle , la distribution est supportée uniquement sur les directions des rayons optiques. Dans ce contexte, le problème inverse est bien posé pour des distributions de probabilité source et cible arbitraires. Il peut être reformulé comme un problème de transport optimal et constitue un exemple célébre de transport optimal sous un coût de déplacement non euclidien. Nous explorons l'utilisation du transport optimal entropique et de l'algorithme Sinkhorn associé pour le résoudre numériquement. La modélisation du réflecteur étant basée sur les potentiels de Kantorovich, plusieurs questions se posent. Premièrement, sur la convergence de l'approximation entropique discrète et nous suivons ici les travaux récents de Berman et en particulier les exigences de discrétisation qui y sont imposées. Deuxièmement, nous montrons que la correction du biais induit par le transport entropique Optimal peut être atteinte en utilisant la notion récente de divergences Sinkhorn. Pour le problème de source ponctuelle, nous discutons des outils mathématiques et numériques nécessaires pour produire et analyser les résultats numériques obtenus. Nous trouvons que l'algorithme Sinkhorn peut être adapté à la résolution du problème de la source ponctuelle au réflecteur en champ lointain. Nous ne connaissons pas de formulation mathématique similaire dans le cas de la source étendue : la distribution de lumière source a support sur l'espace produit: domaine physique-directions des rayons. Nous proposons de tirer parti de la formulation variationnelle bien posée du problème de source ponctuelle pour construire une paramétrisation lisse du réflecteur et de l'application modélisant la réflexion. Sous cette paramétrisation, nous pouvons construire une fonction de coût lisse à optimiser pour trouver la meilleure solution dans cette classe de réflecteurs. Les deux étapes, la paramétrisation et la fonction de coût, sont liées à des distances de transport entropiques optimales. Nous profitons également des progrès récents des techniques d'optimisation et des implémentations efficaces de l'algorithme Sinkhorn pour réaliser une étude numérique.