Ensembles aléatoires conditionnels avec applications en mathématiques financières et en optimisation
25/05/2023 à 10h00
Mme Meriam EL MANSOUR présente ses travaux en soutenance le 25/05/2023 à 10h00
À l'adresse suivante : Université Paris Dauphine PSL, Pl. du Maréchal de Lattre de Tassigny, 75016 Paris Salle des thèses - D520
En vue de l'obtention du diplôme : Doctorat en Sciences
La soutenance est publique
Titre des travaux
Ensembles aléatoires conditionnels avec applications en mathématiques financières et en optimisation
École doctorale
École doctorale Dauphine SDOSE
Équipe de recherche
UMR 7534 - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
Section CNU
26 - Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Directeur(s)
M.Emmanuel LEPINETTE et Mme Dorra BOURGUIBA
Membres du jury
| Nom | Qualité | Établissement | Rôle |
|---|---|---|---|
| M. Emmanuel LEPINETTE | Maître de conférences | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Directeur de thèse |
| Mme Dorra BOURGUIBA | Professeur | Faculté des sciences de Tunis | Co-directrice de thèse |
| M. Yuri KABANOV | Professeur | Université de Franche-Comté | Rapporteur |
| M. Serge PERGAMENCHTCHIKOV | Professeur des universités | Université de Rouen Normandie | Rapporteur |
| Mme Zorana GBARC | Maître de conférences | Université Paris–Diderot | Examinatrice |
| M. Mohamed Amine BEN AMOR | Maître assistant | Université de Carthage - IPEST | Examinateur |
| M. Elyes JOUINI | Professeur des universités | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Examinateur |
| Mme Amina ZEGHAL | Directrice Générale | Université Paris-Dauphine, Tunis | Invitée |
Résumé
Dans cette thèse nous introduisons deux nouveaux types d'ensembles aléatoires conditionnels à valeurs dans un espace de Banach : l'intérieur conditionnel et la clôture conditionnelle des ensembles aléatoires. L'intérieur conditionnel est une version mesurable des ouverts topologiques, tel qu'introduit par A. Truffert et récemment développé par Lépinette et Molchanov, et peut être vu comme une version mesurable de l'intérieur topologique. La clôture conditionnelle est une généralisation de la notion de support conditionnel d'une variable aléatoire. Ces concepts sont utiles pour des applications en mathématique financière et en optimisation conditionnelle. Dans la deuxième partie, nous appliquons les résultats théoriques établis dans la première partie pour résoudre le problème de super-couverture des options européennes ou asiatiques pour les modèles de marchés nanciers en temps discret où les prix exécutables sont incertains. Les prix des actifs risqués ne sont pas décrits par des processus à valeur unique mais des sélections mesurables d'ensembles aléatoires qui permettent de considérer une grande variété de modèles, y compris des modèles bid-ask avec carnets d'ordres, mais aussi des modèles avec un retard dans l'exécution des ordres. Nous proposons un procédé numérique pour calculer le prix minimal sous une condition faible de non-arbitrage, dite condition AIP, sous laquelle les prix positifs des options européennes sont positifs. Cette condition est plus faible que l'existence d'une probabilité risque neutre mais elle est suffisante pour résoudre numériquement le problème de super-couverture. Nous illustrons notre méthode par un exemple numérique. Dans la dernière partie nous montrons que, dans un modèle de marché en temps discret, il est possible d'évaluer le prix minimal de sur-réplication lorsqu'on se limite aux stratégies à valeurs entières. En fait, la théorie habituelle de l'évaluation des options en finance suppose que les stratégies financières, c'est-à-dire la quantité d'actifs risqués à investir, sont à valeur réelle de sorte qu'elles ne sont pas à valeur entière en général, comme on peut le voir dans le modèle de Black et Scholes par exemple. Ceci est clairement contraire à ce qu'il est possible de faire dans le monde réel. Il semble qu'il y'ait peu de contribution en ce sens dans la littérature. Pour ce faire, nous ne considérons que des payoffs qui sont des fonctions continues affines par morceaux de l'actif sous-jacent. Nous formulons un principe de programmation dynamique qui peut être directement implémenté sur une donnée historique et qui fournit également la stratégie optimale à valeurs entières.