Équations cinétiques, inégalités fonctionelles et distances dans l'espace des mesures de probabilité
25/05/2023 à 15h00
M. Giovanni BRIGATI présente ses travaux en soutenance le 25/05/2023 à 15h00
À l'adresse suivante : Université Paris Dauphine PSL, Pl. du Maréchal de Lattre de Tassigny, 75016 Paris Salle des thèses - D520
En vue de l'obtention du diplôme : Doctorat en Sciences
La soutenance est publique
Titre des travaux
Équations cinétiques, inégalités fonctionelles et distances dans l'espace des mesures de probabilité
École doctorale
École doctorale Dauphine SDOSE
Équipe de recherche
UMR 7534 - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
Section CNU
26 - Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Directeur(s)
M. Jean DOLBEAUL & M. Giuseppe SAVARÉ
Membres du jury
| Nom | Qualité | Établissement | Rôle |
|---|---|---|---|
| M. Jean DOLBEAULT | Directeur de recherche | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Directeur de thèse |
| M. Giuseppe SAVARÉ | Professeur des universités | Université Milano-Bocconi | Co-directeur de thèse |
| M. Ivan GENTIL | Professeur des universités | Institut Camille Jordan, Université Claude Bernard Lyon 1 | Rapporteur |
| M. Giuseppe TOSCANI | Professeur émérite | Université de Pavie | Rapporteur |
| M. Clément MOUHOT | Professeur des universités | University of Cambridge | Rapporteur |
| M. Matteo BONFORTE | Professeur des universités | Universidad Autonoma de Madrid | Examinateur |
| Mme Maria ESTEBAN | Directeur de recherche émérite | Université Paris-Dauphine PSL | Examinatrice |
| M. Michael LOSS | Full professor | Georgia Institute of Technology | Examinateur |
| M. Max FATHI | Full professor | Université de Paris | Invité |
| M. Gabriel STOLTZ | Professeur | Ecole des Ponts ParisTech | Invité |
Résumé
Cette thèse est consacrée aux équations cinétiques de Fokker-Planck, à la stabilité des inégalités fonctionnelles et aux formes de Dirichlet non linéaires. Des taux de convergence vers l'équilibre sont estimés via un cadre analytique fonctionnel basé sur les normes faibles des solutions. L'équation de Vlasov-Fokker-Planck, avec variable de position confinée dans un tore, est analysée comme modéle de référence. La même stratégie est ensuite etendue à une large classe de modèles cinétiques. Nous considérons également des inégalités de Gagliardo--Nirenberg sur la sphère qui interpolent entre les inégalités de Poincaré et les inégalités de Sobolev. Nous prouvons des résultats constructifs de stabilité, dans la norme la plus forte possible, avec des exposants optimaux. Le terme de stabilité dégénère sur un sous-espace de dimension finie, ce qui nécessite des précautions supplémentaires. Notre technique combine des développements de Taylor, l'analyse harmonique et des methodes parabóliques. Nous prouvons rigoureusement la convergence de la famille de Gagliardo- Nirenberg sur la sphère vers les inégalités de Beckner gaussiennes dans la limite de grandes dimensions. Ensuite, nous donnons des résultats constructifs de stabilité, en utilisant des diffusions non linéaires sur l'espace gaussien. Enfin, nous traitons l'inégalité de Sobolev logarithmique gaussienne comme cas limite. Nous trouvons des estimations explicites de stabilité pour des densités log-concaves ou à support compact par un argument de log-concavité deduit du flot d'Ornstein- -Uhlenbeck et de la méthode du carré du champ. Nous contribuons à la théorie des formes de Dirichlet non-linéaires en etetndant la propriété de contraction normale. La preuve adopte une nouvelle stratégie, basée sur l'approximation des fonctions Lipschitz réelles par des compositions répétées de fonctions linéaires par morceaux simples.