Estimations constructives et asymptotiques pour les solutions de certaines EDP linéaires et non linéaires
18/04/2023 à 9h30
Mme Claudia FONTE SANCHEZ présente ses travaux en soutenance le 18/04/2023 à 9h30
À l'adresse suivante : Université Paris Dauphine PSL, Pl. du Maréchal de Lattre de Tassigny, 75016 Paris Salle des thèses - D520
En vue de l'obtention du diplôme : Doctorat en Sciences
La soutenance est publique
Titre des travaux
Estimations constructives et asymptotiques pour les solutions de certaines EDP linéaires et non linéaires
École doctorale
École doctorale Dauphine SDOSE
Équipe de recherche
UMR 7534 - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
Section CNU
26 - Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Directeur(s)
M.Stéphane MISCHLER
Membres du jury
| Nom | Qualité | Établissement | Rôle |
|---|---|---|---|
| M. Stéphane MISCHLER | Professeur des universités | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Directeur de thèse |
| M. Emeric BOUIN | Maître de conférences | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Examinateur |
| M. José A. CAÑIZO | Professeur | University of Granada | Rapporteur |
| M. Vincent BANSAYE | Professeur | Ecole polytechnique | Rapporteur |
| Mme Delphine SALORT | Professeur des universités | Sorbonne Université | Examinatrice |
| M. Clément MOUHOT | Professor | University of Cambridge, Centre for Mathematical Sciences | Examinateur |
| M. Benoıt PERTHAME | Professeur des universités | Sorbonne Université | Examinateur |
| M. Tony LELIEVRE | Professeur | Ecole des Ponts ParisTech | Examinateur |
Résumé
Cette thèse est consacrée à l'étude des estimations asymptotiques pour les équations aux dérivées partielles (EDP) dans deux directions : l'analyse du comportement à long terme des solutions des EDP et l'étude de la limite lorsque le nombre d'individus inclus dans un système dynamique devient grand. Dans une première partie de la thèse, nous abordons la première de ces estimations. Pour cela, nous étudions successivement le problème des éléments propres en étendant le théorème de Krein-Rutman, puis la géométrie de la première valeur propre et enfin, ses implications pour le comportement asymptotique en temps long. En particulier, nous étendons la théorie de Doeblin-Harris pour les semigroupes non-conservateurs, en obtenant des résultats de couverture exponentielle avec un taux constructif. Nous appliquons ces résultats à quatre exemples : des modèles de diffusion, un modèle cinétique de Fokker-Planck, un modèle de sélection-mutation et un modèle de temps écoulé pour une population neuronale. Dans une seconde partie, nous étudions l'existence d'un résultat de concentration de type inégalité de Bernstein pour les modèles position-vitesse que nous appliquons ensuite à trois problèmes : à l'estimation des paramètres du modèle de FitzHugh-Nagumo, à l'estimation non paramétrique de coefficients de modèles généraux et, enfin, un travail exploratoire pour la construction d'un test statistique de la connectivité entre particules dans un système dynamique.