Matrices aléatoires : grande dimension et résolution exacte
15/07/2025 à 14h00
M. Quentin FRANCOIS présente ses travaux en soutenance le 15/07/2025 à 14h00
À l'adresse suivante : École Normale Supérieure, DMA, Bâtiment Rataud, 45 rue d'Ulm 75005 Paris Salle W
En vue de l'obtention du diplôme : Doctorat en Sciences
La soutenance est publique
Titre des travaux
Matrices aléatoires : grande dimension et résolution exacte
École doctorale
École doctorale Dauphine SDOSE
Équipe de recherche
UMR 7534 - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
Section CNU
1 - Mathematiques et leurs interactions
Directeur(s)
Djalil CHAFAÏ
Membres du jury
| Nom | Qualité | Établissement | Rôle |
|---|---|---|---|
| M. Djalil CHAFAï | Professeur des universités | Université Paris-Dauphine PSL | Directeur de these |
| M. Pierre TARRAGO | Maître de conférences | Sorbonne Université | Co-encadrant de these |
| M. Thierry LéVY | Professeur des universités | Sorbonne Université | Examinateur |
| M. Guillaume BARRAQUAND | Chargé de recherche | École Normale Supérieure PSL | Examinateur |
| M. David GARCíA-ZELADA | Maître de conférences | Sorbonne Université | Examinateur |
| Mme Mylène MAïDA | Professeur des universités | Université de Lille | Rapporteur |
| M. Nathanaël ENRIQUEZ | Professeur des universités | Université Paris-Sud | Examinateur |
| M. Walid HACHEM | Directeur de recherche | Université Gustave Eiffel | Examinateur |
Résumé
Cette thèse explore certains aspects de la solvabilité exacte en théorie des matrices aléatoires. Elle est structurée en deux parties principales. La première partie traite d'un problème en grande dimension, sur comportement asymptotique des polynômes caractéristiques de matrices aléatoires. Nous nous concentrons sur deux modèles intégrables. Le premier est l'Ensemble de Ginibre Elliptique, une interpolation gaussienne entre l'Ensemble de Ginibre et son homologue hermitien, l'Ensemble Unitaire Gaussien. Le second modèle concerne les matrices de permutation, où la permutation sous-jacente suit la distribution d'Ewens généralisée pour laquelle la mesure d'une permutation dépend uniquement de sa structure en cycles. Pour ces deux modèles, nous établissons la convergence en loi du polynôme caractéristique vers une fonction analytique aléatoire lorsque la dimension des matrices tend vers l'infini. Cette convergence a lieu en dehors du support des valeurs propres et est complémentaire de la convergence des distributions spectrales. La seconde partie concerne un problème en dimension fixée. Nous considérons des produits de matrices unitaires uniformément distribuées sur des orbites de conjugaison. Nous déterminons la densité de probabilité des valeurs propres de ce produit. Cette densité est liée au volume de l'espace des modules des connexions plates sur une sphère à trois trous. Notre formule fournit une expression positive pour la densité et pour ce volume sous la forme d'une somme de volumes de polytopes explicites. Ces polytopes émergent d'objets combinatoires appelés puzzles, permettant de calculer les coefficients d'intersection pour la cohomologie des variétés de drapeaux à deux sous-espaces.
Nous explorons également certaines propriétés de ces puzzles.