Problèmes variationnels et de transport optimal L∞
14/04/2023 à 10h30
Mme Camilla BRIZZI présente ses travaux en soutenance le 14/04/2023 à 10h30
À l'adresse suivante : Université de Florence, Viale Morgagni 67/a, 50134, Florence, Italie
En vue de l'obtention du diplôme : Doctorat en Sciences en Cotutelle avec l'université "Université de Florence" (ITALIE)
La soutenance est publique
Titre des travaux
Problèmes variationnels et de transport optimal L∞
École doctorale
École doctorale Dauphine SDOSE
Équipe de recherche
UMR 7534 - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
Section CNU
26 - Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Directeur(s)
MM. Guillaume CARLIER et Luigi DE PASCALE
Membres du jury
| Nom | Qualité | Établissement | Rôle |
|---|---|---|---|
| M. Guillaume CARLIER | Professeur des universités | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Directeur de thèse |
| M. Luigi DE PASCALE | Associate professor | Università degli Studi di Firenze | Co-directeur de thèse |
| M. Nikos KATZOURAKIS | Associate professor | University of Reading | Rapporteur |
| M. Nicolas JUILLET | Professeur des universités | Université Haute-Alsace | Rapporteur |
| Mme Francesca PRINARI | Associate professor | Università di Pisa | Examinatrice |
| M. Champion THIERRY | Maître de conférences | Université de Toulon | Examinateur |
Résumé
Dans cette thèse on étudie certaines propriétés des solutions de problèmes variationnels et de transport L∞ (L infini). Ce manuscrit est divisé en deux parties. La première partie, composée du Chapitre 2 et du Chapitre 3, traite d’un problème variationnel suprémal. Les problèmes variationnels suprémaux sont apparus pour la première fois à la fin des années 60 dans les travaux pionniers d’Aronsson. En raison de la nature de la norme L∞, les minimiseurs intéressants sont les minimiseurs dits absolus (AM), qui sont souvent solutions d’une EDP associée et ont des propriétés d’unicité et de régularité. À la lumière de ces considérations, dans le Chapitre 2 nous analysons le problème associé à une fonctionnelle H(x,p) continue et quasiconvexe . Nous montrons notamment une nouvelle propriété d’optimalité pour une fonction u qui est AM et prouvons un résultat de structure pour l’ensemble des points x où H(x;Du(x)) = maxH(x;Du(x)). Dans le Chapitre 3, nous resituons le problème variationel dans le cadre des problèmes avec contraintes sur le gradient, en prouvant la régularité C1 des minimiseurs absolus sur l’ensemble mentionné ci-dessus. Dans la deuxième partie, qui comprend le Chapitre 4 et le Chapitre 5, on s’intéresse au problème de transport optimal L∞, étudié pour la première fois par Champion, De Pascale, et Juutinen en 2007. Une contribution originale, présentée dans le Chapitre 4, est la preuve que les plans optimaux dits restreignables (restrictable) (l’analogue de AM) sont concentrés sur un graphe, si la fonction de coût est strictement quasiconvexe et satisfait une propriété similaire à la condition classique de twist. De plus, nous prouvons l’unicité dans le cas d’une mesure cible discrète. Le problème de transport optimal L∞ est non convexe, donc vraisemblablement plus complexe que le problème de transport classique. Afin d’avoir une meilleure compréhension, il semble naturel de chercher une généralisation à ce cadre de l’approximation entropique. Dans ce but, dans le Chapitre 5, nous introduisons une régularisation qui garantit la Gamma-convergence vers le problème de transport L1. En particulier, nous montrons que les minimisateurs des fonctionnelles régularisées sélectionnent des plans optimaux restrictable. Enfin, nous prouvons quelques estimations sur la vitesse de convergence et présentons quelques illustrations numériques réalisées avec l’algorithme de Sinkhorn. Les résultats du Chapitre 2 sont basés sur une collaboration avec L. De Pascale et ceux du Chapitre 3 font référence à la pré-publication. Le Chapitre 4 concerne un travail commun avec L. De Pascale et A. Kausamo, tandis que le Chapitre 5 est inspiré d’un travail en préparation avec G. Carlier et L. De Pascale.