Problèmes variationnels pour l'interpolation dans l’espace de Wasserstein
13/12/2022 à 15h00
Mme Katharina EICHINGER présente ses travaux en soutenance le 13/12/2022 à 15h00
À l'adresse suivante : Université Paris Dauphine-PSL Pl. du Maréchal de Lattre de Tassigny 75016 Paris - Salle A701
En vue de l'obtention du diplôme : Doctorat en Sciences
La soutenance est publique
Titre des travaux
Problèmes variationnels pour l'interpolation dans l’espace de Wasserstein
École doctorale
École doctorale Dauphine SDOSE
Équipe de recherche
UMR 7534 - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
Section CNU
26 - Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Directeur(s)
M. Guillaume CARLIER
Membres du jury
| Nom | Qualité | Établissement | Rôle |
|---|---|---|---|
| M. Guillaume CARLIER | Professeur des universités | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Directeur de thèse |
| M. Jérémie BIGOT | Professeur des universités | Université de Bordeaux | Rapporteur |
| Mme Virginie EHRLACHER | Maître de conférences | École des Ponts Paristech | Rapporteure |
| M. Giuseppe BUTTAZZO | Full Professor | Università di Pisa | Examinateur |
| M. Noureddine IGBIDA | Professeur des universités | Université de Limoges | Examinateur |
| Mme Chloé JIMENEZ | Maître de conférences | Université de Bretagne-Occidentale | Examinatrice |
Résumé
Cette thèse étudie des problèmes variationnels comprenant plusieurs fonctionnelles de transport optimal. Un exemple populaire est le barycentre Wasserstein qui peut être vu en tant que moyenne dans l'espace de Wasserstein d'ordre 2. Depuis son introduction en 2011 de Agueh et Carlier, il est devenu très populaire en statistiques, machine learning et traitement des images. Bien que la consistance du barycentre Wasserstein soit désormais bien connue, une étude plus precise des taux de convergences nécessite encore une analyse supplémentaire. Nous faisons un pas dans cette direction en montrant une théorème centrale limite pour une version régularisée du barycentre Wasserstein qui a été introduite par Bigot, Cazelles et Papadakis en 2019. Même si le barycentre Wasserstein fournit déjà un bon estimateur statistique, ce n'est pas toujours un estimateur robuste car son breakdown point est bas. Cela nous a motivé d'étudier la médiane Wasserstein, la solution du problème de minimisation des sommes des distances de Wasserstein d'ordre 1. En effet, le breakdown point de la médiane Wasserstein s'avère être plus grand. Cependant, des propriétés de régularité de cet estimateur sont plus subtiles. Néanmoins, nous fournissons une caractérisation détaillée et des estimations d'intégrabilité dans le cas où les mesures sont supportées sur la droite réelle. Dans le cadre général des espaces métriques, des formulations duales et multimarginales équivalentes sont présentées. Nous donnons aussi une caractérisation d'EDP des médianes Wasserstein sur des espaces euclidiens. Motivé par un contexte différent, pourtant donnant une classe similaire des problèmes d'optimisation, est le problème d'emplacement de stationnement optimal. Ceci consiste de trouver une mesure optimale sous des contraintes supplémentaires, comme l'emplacement ou une contrainte de capacité, entre deux mesures, prenant en compte des différents types de coûts de transport. Dans ce cadre, nous démontrons des propriétés de régularité pour plusieurs classes du coût de transport. Finalement, nous fournissons un algorithme numérique afin de simuler des distributions de stationnement optimal en introduisant un terme de régularisation entropique et en déduisant une variante du célèbre algorithme du Sinkhorn.