Quelques problèmes de mécanique statistique pour les gaz de Coulomb et de Riesz
29/11/2022 à 13h30
Mme Jeanne BOURSIER présente ses travaux en soutenance le 29/11/2022 à 13h30
À l'adresse suivante : Université Paris Dauphine - PSL, Pl. du Maréchal de Lattre de Tassigny 75775 PARIS Cedex 16 - Salle A701
En vue de l'obtention du diplôme : Doctorat en Sciences
La soutenance est publique
Titre des travaux
Quelques problèmes de mécanique statistique pour les gaz de Coulomb et de Riesz
École doctorale
École doctorale Dauphine SDOSE
Équipe de recherche
UMR 7534 - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
Section CNU
26 - Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Directeur(s)
M. Djalil CHAFAÏ
Membres du jury
| Nom | Qualité | Établissement | Rôle |
|---|---|---|---|
| M. Djalil CHAFAÏ | Professeur des universités | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Directeur de thèse |
| Mme Sylvia SERFATY | Professor | New York University | Co-directrice de thèse |
| M. Lambert GAULTIER | Associate professor | KTH Royal Institute of Technology | Rapporteur |
| M. Paul BOURGADE | Professor | New York University | Rapporteur |
| M. Mathieu LEWIN | Directeur de recherche | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Examinateur |
| Mme Alice GUIONNET | Directeur de recherche CNRS | École Normale Supérieure de Lyon | Examinatrice |
| M. David DEREUDRE | Professeur des universités | Université de Lille | Examinateur |
| M. Christophe GARBAN | Professeur des universités | Université Lyon 1 | Examinateur |
Résumé
Cette thèse se propose d'étudier divers problèmes de mécanique statistique pour une famille de systèmes de particules en interaction, appelés gaz de Coulomb et de Riesz. Nous commençons par examiner le temps de mélange du mouvement Brownien de Dyson avec confinement quadratique, dont la mesure invariante est donnée par le beta-ensemble d'Hermite. Nous établissons un résultat de cutoff pour le temps de mélange du système dans une variété de distances et de divergences, lorsque le nombre de particules tend vers l'infini. Nous considérons ensuite les fluctuations et corrélations du gaz de Riesz circulaire dans le régime longue portée. Tout d'abord, nous quantifions les fluctuations des espacements entre particules et énonçons un théorème central limite pour les statistiques linéaires valables pour des fonctions-tests possiblement très singulières. Puis nous montrons une estimée optimale sur la décroissance de la corrélation des gaps, qui nous permet de montrer l'unicité du processus limite en volume infini. La suite de ce manuscrit est consacrée à l'étude du gaz de Coulomb bi-dimensionnel à deux composantes dans un régime de basse température où la fonction de partition diverge. Après avoir proposé une renormalisation efficace du modèle, nous donnons un développement asymptotique de la fonction de partition lorsque le paramètre de troncature tend vers zéro, des estimées sur le nombre et la taille de dipôles neutres ainsi qu'un contrôle énergétique sur les fluctuations.