Régularisation par la variation totale pour la reconstruction d'images constantes par morceaux : identification du support et méthodes numériques sans grille
12/12/2022 à 14h00
M. Romain PETIT présente ses travaux en soutenance le 12/12/2022 à 14h00
À l'adresse suivante : Université Paris Dauphine-PSL Pl. du Maréchal de Lattre de Tassigny 75016 Paris - Salle des thèses - D520
En vue de l'obtention du diplôme : Doctorat en Sciences
La soutenance est publique
Titre des travaux
Régularisation par la variation totale pour la reconstruction d'images constantes par morceaux : identification du support et méthodes numériques sans grille
École doctorale
École doctorale Dauphine SDOSE
Équipe de recherche
UMR 7534 - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
Section CNU
26 - Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Directeur(s)
MM .Vincent DUVAL et Yohann DE CASTRO
Membres du jury
| Nom | Qualité | Établissement | Rôle |
|---|---|---|---|
| M. Vincent DUVAL | Chargé de recherche INRIA | Université Paris Dauphine - PSL | Directeur de thèse |
| M. Yohann DE CASTRO | Professeur des universités | Institut Camille Jordan, Ecole Centrale Lyon | Co-directeur de thèse |
| M. Otmar SCHERZER | Full professor | University of Vienna | Rapporteur |
| M. Marc DAMBRINE | Professeur des universités | Université de Pau et des Pays de l'Adour | Rapporteur |
| M. Antonin CHAMBOLLE | Directeur de recherche, CNRS | Université Paris Dauphine - PSL | Examinateur |
| M. Gabriel PEYRÉ | Directeur de recherche, CNRS | Ecole normale supérieure | Examinateur |
| M. Simon MASNOU Professeur des universités | Professeur des universités | Université Claude Bernard Lyon 1, Institut Camille Jordan | Examinateur |
| Mme Blanche BUET | Maître de conférences | Université Paris-Saclay | Examinatrice |
| M. Jimmy LAMBOLEY | Professeur des universités | Sorbonne Université | Invité |
Résumé
On s'intéresse dans cette thèse à une famille de problèmes inverses, qui consistent à reconstruire une image à partir de mesures linéaires possiblement bruitées. On cherche à analyser les méthodes de reconstruction variationnelles utilisant un régulariseur spécifique, la variation totale (du gradient). Cette fonctionnelle est utilisée en imagerie depuis les travaux de Rudin Osher et Fatemi, menés en 1992. Alors qu'il est bien connu que sa minimisation produit des images constantes par morceaux, présentant une forme de parcimonie (elles sont composées d'un petit nombre de formes simples), ce point de vue n'a à notre connaissance pas été privilégié pour analyser les performances de ce régulariseur. Dans cette thèse, on se propose de mener cette étude. Dans un premier temps, on considère les reconstructions obtenues par minimisation de la variation totale dans un régime de faible bruit, et on étudie leur proximité avec l'image inconnue. Puisque cette dernière est supposée parcimonieuse, on s'intéresse particulièrement à la structure de la reconstruction: est-elle elle-même parcimonieuse, est-elle composée du même nombre de formes, et ces formes sont-elles proches de celles présentes dans l'image inconnue ? Dans une seconde partie, on propose une méthode numérique pour résoudre les problèmes variationnels associés à ce régulariseur. On introduit un algorithme ne reposant pas sur l'introduction d'une discrétisation spatiale fixe. Ceci a l'avantage, contrairement aux techniques existantes, de n'introduire ni flou ni anisotropie dans les images reconstruites, et d'en produire une représentation parcimonieuse.