Transport Optimal et Structures Géométriques
17/09/2024 à 14h00
João PINTO ANASTáCIO MACHADO présente ses travaux en soutenance le 17/09/2024 à 14h00
À l'adresse suivante : Université Paris Dauphine - PSL Place du Maréchal de Lattre de Tassigny 75775 PARIS Cedex 16 Salle des thèses - D520
En vue de l'obtention du diplôme : Doctorat en Sciences
La soutenance est publique
Titre des travaux
Transport Optimal et Structures Géométriques
École doctorale
École doctorale Dauphine SDOSE
Équipe de recherche
UMR 7534 - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
Section CNU
26 - Mathématiques appliquées et applications des mathématiques
Directeur(s)
Monsieur Antonin CHAMBOLLE et Monsieur Vincent DUVAL
Membres du jury
| Nom | Qualité | Établissement | Rôle |
|---|---|---|---|
| M. Antonin CHAMBOLLE | Directeur de recherche | UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL | Directeur de thèse |
| M. Vincent DUVAL | Directeur de recherche | INRIA | Co-directeur de thèse |
| M. Antoine LEMENANT | Professeur des universités | Université de Lorraine | Rapporteur |
| Mme Annalisa MASSACCESI | Associate professor | Università di Padova | Rapporteure |
| M. Filippo SANTAMBROGIO | Professeur des universités | Université Claude Bernard - Lyon 1 | Examinateur |
| M. Frédéric DE GOURNAY | Maître de conférences | Université Paul Sabatier | Examinateur |
| Mme Yana TEPLITSKAYA | ATER | Université Paris-Saclay | Examinatrice |
Résumé
Dans cette thèse, nous étudions trois problèmes de Calcul des Variations. Bien que leurs thématiques semblent distantes (les problèmes variationnels géométriques, les flots de gradient Wasserstein et la théorie des jeux) ils sont étudiés dans le cadre de l'optimisation dans les espaces de mesures. Le premier consiste à approcher une image donnée avec un ensemble 1-dimensionnel. Pour cela, nous interprétons les images comme des mesures de probabilité et l'on cherche à minimiser la distance de Wasserstein entre la mesure initiale et toutes les mesures uniformément distribuées parmi les ensembles 1-dimensionnels et connexes. Nous démontrons l'existence de solutions pour ce problème, quelques propriétés qualitatives des minimiseurs et nous proposons un résultat d'approximation, en forme de $Gamma$-convergence, qui permet son optimisation numérique. Ensuite nous regardons le flot de gradient de la fonctionnelle de variation totale dans l'espace de Wasserstein. En faisant un lien entre ceci et un problème classique nous utilisons la théorie bien connue de ce dernier pour en déduire les équations d'Euler-Lagrange et obtenir des résultats de régularité. Cette connexion nous permet aussi de proposer un algorithme proximal pour son optimisation numérique. Dans le troisième problème étudié dans cette thèse, on s’intéresse à la question ``Quand est-ce que les équilibres de Nash d'un jeu à $N$-joueurs convergent vers une notion d'équilibre d'un jeu avec une infinité de joueurs?'', une question centrale dans la théorie des jeux à champ moyen. Pour une classe assez générale de jeux qui possèdent une fonction de potentiel dans l'espace des mesures de probabilité, dont les minimiseurs sont des équilibres, nous démontrons cette convergence en définissant une famille appropriée des jeux à $N$-joueurs et démontrant que leurs fonctions de potentiel $Gamma$-convergent vers la fonction de potentiel du jeu avec une infinité de joueurs.