Mathieu Lewin, les maths en terrain quantique

Faire parler les mathématiques là où on ne les attend pas, c’est un peu la spécialité de Mathieu Lewin. Pour lui, les grandes questions naissent souvent là où les frontières flanchent — entre la physique et la chimie, entre rigueur et intuition. De l’étude des gaz quantiques à celle des électrons dans la matière, il s’attache à comprendre comment des comportements collectifs émergent du jeu des interactions microscopiques. Une recherche guidée par une obsession : révéler l’architecture mathématique cachée dans ces comportements complexes.

Voir la physique à travers les maths

D’aussi loin qu’il se souvienne, Mathieu Lewin a toujours été fasciné par la mécanique quantique : ses particules insaisissables, ses dynamiques inattendues, ses règles qui échappent à l’intuition. « Ce qui m’intéresse, ce sont les problèmes que la physique pose, mais que les maths seules peuvent aider à clarifier », résume-t-il.

Depuis sa thèse en physique mathématique, il développe une approche à la croisée des équations aux dérivées partielles, de l’analyse fonctionnelle et des modèles quantiques. Une manière de faire des maths en regardant ailleurs. « Je pars toujours du problème. Peu importe l’outil, pourvu qu’il fonctionne », dit-il.

Après un passage par le Danemark et un post-doctorat à Inria, il est recruté au CNRS en 2005. Pendant ces premières années, il tisse vite des collaborations durables. « Les rencontres sont un moteur essentiel. Elles orientent mes choix de recherche », confie-t-il. Et c’est de ce terreau collectif que naît en 2010 son premier projet européen, MNIQS (Mathematics and Numerics of Infinite Quantum Systems).

Faire parler les bosons

Avec MNIQS, Mathieu Lewin s’est attaqué à une question centrale de la physique moderne : comment des milliards de particules quantiques, soumises à des interactions complexes, peuvent-elles adopter un comportement collectif ? C’est tout l’enjeu de la condensation de Bose-Einstein. En pratique, les physiciens observent que, lorsque certains gaz sont refroidis, toutes leurs particules « s’alignent » dans un même état quantique. Pour l’expliquer, ils utilisent des modèles efficaces, mais postulent ce comportement simplement parce qu’ils l’observent.

Avec ses collaborateurs Phan Thành Nam et Nicolas Rougerie, Mathieu Lewin a cherché à démontrer ce phénomène à partir de principes mathématiques fondamentaux. L’idée : comprendre pourquoi cette condensation a lieu et dans quelles conditions précises.

« Elle est déjà là, cachée dans les mathématiques »

Ils sont partis d’une équation connue décrivant un gaz quantique à très grand nombre de particules (le système à N corps) qu’ils ont analysée notamment à l’aide du théorème de De Finetti quantique. Celui-ci permet de montrer que si toutes les particules sont identiques et interchangeables, leur comportement global adopte forcément une certaine forme.

Résultat ? Les chercheurs montrent que cette condensation de Bose-Einstein n’a rien d’un miracle. « En réalité, elle découle mécaniquement de cette organisation collective. Cela veut dire qu’il n’est pas nécessaire de la postuler, car elle est déjà là, cachée dans les mathématiques qui décrivent ce phénomène », explique Mathieu Lewin.

Revoir les fondations d’un pilier de la chimie

Deux ans après le terme de MNIQS, Mathieu Lewin décroche un nouveau projet européen dans lequel il s’attaque à la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT pour « Density Functional Theory » en anglais). Très utilisée en chimie théorique et dans l’industrie, cette méthode permet de modéliser le comportement des électrons dans une molécule ou un matériau, sans avoir à suivre chaque particule une à une. À la place, elle s’appuie sur la densité électronique globale, plus simple à manipuler.

« C’est une méthode ultra efficace, mais mal comprise sur le plan mathématique. On l’utilise comme une boîte noire », explique le chercheur. Avec son équipe, il replonge dans les équations qui la sous-tendent et découvre une faille conceptuelle restée inaperçue pendant plus de cinquante ans. En clair : le modèle supposait une propriété mathématique… qui n’est pas toujours valable. « Cette erreur remet en question une partie de l’édifice de la DFT. Il a fallu plusieurs années pour comprendre comment la corriger », précise le mathématicien.

Ce travail a permis de renforcer les bases théoriques de la DFT en vue d’éclairer ses usages. Pour autant, les travaux de Mathieu Lewin ne modifient pas les pratiques des chimistes. « Ce serait un objectif un jour, sourit-il. Mais je suis déjà fier de voir que certains de mes travaux sont repris et améliorés par d’autres mathématiciens ».

Vers une recherche à haut risque

En 2023, Mathieu Lewin prend la direction du Centre de recherche en mathématiques de la décision (CEREMADE)¹ de l’Université Paris Dauphine – PSL, qu’il avait rejoint en 2014. Pendant cette nouvelle étape de sa carrière, une nouvelle idée mûrit. Naît alors le projet interdisciplinaire MAQUI (nouvelles approches MAthématiques pour des systèmes QUantiques en Interaction) lancé en 2024. Financé par le CNRS au sein du « Recherche à risque » de France 2030, celui-ci vise à explorer d’autres zones grises de la DFT.

Cette recherche, considérée à risque en raison de son caractère hautement exploratoire et de l'absence de modèles établis, offre un vaste terrain de jeu où tout reste à faire. Entièrement interdisciplinaire, MAQUI réunit mathématiciens, numériciens et chimistes autour de trois verrous célèbres. « Dans ces différentes situations, nous sommes dans le brouillard : les équations ne sont pas connues, les simulations ne marchent pas, et les chimistes ne comprennent pas toujours les résultats expérimentaux », résume le chercheur. Il s’agit notamment d’étudier la photochimie ultrarapide, où les électrons, excités par des impulsions laser, se déplacent trop vite pour les modèles actuels ; de regarder les métaux lourds, où les électrons atteignent des vitesses proches de la lumière ; ou encore certains matériaux exotiques dont les propriétés électroniques restent très difficiles à modéliser.

Face à cette complexité, les porteurs de MAQUI embrassent l’incertitude. Pas de méthode toute faite, pas de certitude sur les résultats — mais un engagement fort pour une recherche fondamentale ouverte, collective et risquée. À Mathieu Lewin de conclure : « En recherche, il faut s’habituer à l’échec perpétuel et rendre cet état d’incertitude agréable. Quand je ne comprends pas quelque chose, j’adore. C’est ça, le cœur de mon métier : apprendre à aimer le fait de ne pas savoir ».