Mathématiques Approfondies - 3ème année de Licence

UE Obligatoires

• Intégrale de Lebesgue et probabilités

  Intégrale de Lebesgue et probabilités

  Ects : 8

  Enseignant responsable :
  STEPHANE MISCHLER
  

  Volume horaire : 80

  Description du contenu de l'enseignement :

  1. Théorie de la mesure (tribus, mesurabilité), intégration abstraite (Lebesgue).2. Théorèmes de convergence, théorème de Fubini, transformée de Fourier.3. Variables aléatoires, lois et convergence (presque sûre, en probabilité, en loi).4. Lemmes de Borel-Cantelli, suites des variables indépendantes, lois des grands nombres (fort), théorème de la limite centrale.5. Espérance conditionnelle.

  Compétences à acquérir :

  Introduction à l’intégrale de Lebesgue, à l’intégration dans les espaces abstraits (théorie de la mesure) et à l’analyse de Fourier ; notions nécessaires pour la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale.

• Calcul différentiel et optimisation

  Calcul différentiel et optimisation

  Ects : 6

  Enseignant responsable :
  EMERIC BOUIN
  

  Volume horaire : 30

  Description du contenu de l'enseignement :

  Rappels sur la continuité. Continuité directionnelle.Dérivées directionnelles. Différentielle. Dérivées partielles.Opérations usuelles, dont composée.Accroissements finis.Fonctions de classe C1. Caractérisation.Gradient. Interprétation géométrique.Dérivée d’ordre 2. Hessienne. Théorème de Schwarz (admis).Formules de Taylor d’ordre 1 et 2 (applications aux surfaces).Optimisation libre : conditions d’ordre 1, d’ordre 2.Cas des fonctions convexes une/deux fois différentiables.Inversion locale, fonctions implicites.

  Compétences à acquérir :

  Calcul différentiel dans un ouvert de Rn, avec théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites. Optimisation libre dans un ouvert.

• Modélisation statistique

  Modélisation statistique

  Ects : 4

  Enseignant responsable :
  CHRISTIAN ROBERT
  

  Volume horaire : 50

  Description du contenu de l'enseignement :

  - Statistics, the what and why - Probabilistic models for statistics - Glivenko-Cantelli theorem, Monte Carlo principles, and the bootstrap - Likelihood function, statistical information, and likelihood inference - Bayesian inference

  Coefficient : 4 ECTS

  Pré-requis recommandés :

  A first course in (continuous) probability theory covering standard distributions, expectations, limit theorems, and conditional distributions

  Pré-requis obligatoire :

  A first course in (continuous) probability theory covering standard distributions, expectations, limit theorems, and conditional distributions

  Compétences à acquérir :

  This course is the first part of the two L3 statistics courses. It covers the fundamentals of parametric statistics, both from mathematical and methodological points of view, with some forays into computational statistics. The main theme is that modelling is an inherent part of the statistical practice, rather than an antecedent to the statistical step. Data may be a given, while models almost never are. This means one should keep a critical eye about models and develop critical tools to assess their adequation. Including, first and foremost, an assessment by simulation (Monte Carlo) methods. The course is entirely in English, except for the partial and final exams. Some practicals (TP) will be included, covering R language programming and applications to the bootstrap and Monte Carlo methodologies.

  Mode de contrôle des connaissances :

  Mid-term exam and final exam, potentially completed by quizzes and projects along the semester

  Bibliographie-lectures recommandées

  Casella and Berger (1989) Statistical Inference. Duxbury.

• Notions fondamentales de L1-L2

  Notions fondamentales de L1-L2

  Ects : 2

  Enseignant responsable :
  DANIELA TONON
  

  Volume horaire : 20

  Description du contenu de l'enseignement :

  Rappels de rédaction mathématique, structure d’une démonstration, principes de raisonnement, logique, construction d’ensembles, applications, introduction aux relations d’équivalences et ensembles quotients.Ensembles finis, permutations, déterminant, ensembles dénombrables.Suites et séries réelles, développement asymptotique, étude des fonctions réelles, développements limités, suites et séries de fonctions, topologie dans Rn.Nombres complexes, polynômes, fractions rationnelles.Espaces vectoriels, applications linéaires, matrices.Réduction d’endomorphismes : valeurs propres, espaces propres, polynôme caractéristique, diagonalisation, lemme des noyaux, polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton.Algèbre bilinéaire : produits scalaires, bases orthonormées, diagonalisation des matrices symétriques réelles.

  Compétences à acquérir :

  Revoir, synthétiser et approfondir certains points du programme de L1-L2 particulièrement importants pour l’année de L3. Comprendre les liens entre les différentes matières étudiées les deux premières années. S’exercer à la rédaction et à la rigueur sur des exercices de savoir-faire ne nécessitant pas l’acquisition de nouvelles notions.

UE de parcours

• Analyse complexe

  Analyse complexe

  Ects : 4

  Enseignant responsable :
  JOSEPH LEHEC
  

  Volume horaire : 40

  Description du contenu de l'enseignement :

  1. Fonctions analytiques, fonctions holomorphes.2. Séries entières.3. Intégrale de contour, théorème des résidus.4. Calculs de transformées de Fourier et de Laplace.

  Compétences à acquérir :

  Apprendre les bases de l'analyse complexe et en voir les applications marquantes.

• Anglais 5

  Anglais 5

  Ects : 2

  Volume horaire : 20

  Description du contenu de l'enseignement :

  Faire acquérir aux étudiants des connaissances linguistiques spécialisées leur permettant de fonctionner efficacement dans leur futur contexte professionnel. Parcours et progression différenciés par semestre. Utilisation large des ressources audiovisuelles (caméra).

  Compétences à acquérir :

  Faire acquérir aux étudiants des connaissances linguistiques spécialisées leur permettant de fonctionner efficacement dans leur futur contexte professionnel. Parcours et progression différenciés par semestre. Utilisation large des ressources audiovisuelles (caméra).

UE Optionnelles

• Pré-rentrée : probabilités et statistiques

  Pré-rentrée : probabilités et statistiques

  Enseignant responsable :
  ANGELINA ROCHE
  

  Description du contenu de l'enseignement :

  Espace de probabilité Variables aléatoires discrètes et continues Couples, indépendance et conditionnement Théorèmes limites

  Compétences à acquérir :

  Donner les bases de probabilités et de statistique, afin de faciliter l’intégration des étudiants venant de l’extérieur n’ayant jamais fait de probabilités (cours obligatoire pour ces étudiants).

• Algorithmes dans les graphes

  Algorithmes dans les graphes

  Ects : 4

  Enseignant responsable :
  CRISTINA BAZGAN
  

  Volume horaire : 18
• Produits dérivés et gestion des risques

  Produits dérivés et gestion des risques

  Ects : 4

  Enseignant responsable :
  ZHENJIE REN
  

  Volume horaire : 40

  Description du contenu de l'enseignement :

  1. Rappel du modèle binomial, notion de probabilité risque neutre.2. Théorie de l’arbitrage dans un modèle à une période. 3. Marché complet et unicité de la probabilité risque neutre.4. Sélection de probabilité risque neutre via la maximisation d’utilité.5. Théorie de l’arbitrage dynamique (multi-périodes).6. Options Américaines.

  Compétences à acquérir :

  Présenter les méthodes de mesure et d’analyse des stratégies de gestion des produits dérivés et des risques financiers.

• Mécanique quantique

  Mécanique quantique

  Ects : 4

  Description du contenu de l'enseignement :

  - Les principes de la Mécanique Quantique : postulats, fonctions d’onde, opérateurs, mesures quantiques…- Les outils mathématiques : l’équation de Schrödinger, le formalisme de Dirac…- Les effets quantiques : superposition, quantification d’énergie, inc

  Compétences à acquérir :

  Le but est de donner une culture de base sur la mécanique à l'échelle des atomes. L'esprit du cours consiste à introduire les principes et les concepts qui sous-tendent la physique quantique, à présenter ses outils élémentaires, et à montrer comment ils s'utilisent pour décrire des phénomènes quantiques et des expériences.

  Ce cours est réservé aux étudiants venant du Cycle Préparatoire aux Études Supérieures (CPES, PSL) ayant choisi la spécialité Physique. Il pourra être exceptionnellement suivi, sous réserve d’approbation par les responsables pédagogiques de L3 et du CPES et les enseignants concernés, par des étudiants arrivant à l’Université Paris-Dauphine en L3 et ayant suivi des enseignements de physique lors de leur cursus antérieur.

UE Obligatoires

• Statistique mathématique

  Statistique mathématique

  Ects : 5

  Enseignant responsable :
  VINCENT RIVOIRARD
  

  Volume horaire : 40

  Description du contenu de l'enseignement :

  • Outils de probabilité
  • Concepts fondamentaux de la statistique
  • Estimation ponctuelle
  • Intervalles et régions de confiance
  • Tests d’hypothèses - Généralités
  • Tests fondés sur la vraisemblance
  • Tests asymptotiques - Tests du ?2

  Pré-requis recommandés :

  Les notions de probabilité de la 2ème année de licence MIDO - Notions enseignées lors du cours du premier semestre « Statistical modelling »

  Pré-requis obligatoire :

  Les notions de probabilité de la 2ème année de licence MIDO

  Compétences à acquérir :

  Ce cours reprend et complète le cours du premier semestre « Statistical modelling » sous l'angle théorique de la décision en statistique mathématique. Les principales notions abordées sont l'estimation paramétrique, les régions de confiance et les tests statistiques.

  Mode de contrôle des connaissances :

  Examen sur table

• Équations différentielles

  Équations différentielles

  Ects : 4

  Enseignant responsable :
  OLIVIER GLASS
  

  Volume horaire : 40

  Description du contenu de l'enseignement :

  1. Théorème de Cauchy-Lipschitz, alternative d’explosion. 2. Résolution explicite en dimension 1 (variables séparables, équations linéaires).3. Lemmes de Gronwall.4. Systèmes d’équations différentielles linéaires, portraits de phase. 5. Stabilité, linéarisation. 6. Méthode d’Euler explicite, consistance, stabilité.

  Compétences à acquérir :

  Bases de la théorie des équations différentielles et introduction à l'approche « systèmes dynamiques » des systèmes d'équations différentielles.

• Analyse fonctionnelle et analyse hilbertienne

  Analyse fonctionnelle et analyse hilbertienne

  Ects : 6

  Enseignant responsable :
  ERIC SERE
  

  Volume horaire : 60

  Description du contenu de l'enseignement :

  Fonctions Lp. Inégalités de Minkowski et de Hölder. Espace Lp, complétude, réciproque du théorème de convergence dominée. Théorèmes de densité des fonctions régulières.Transformée de Fourier dans L1(R). Continuité, dérivabilité de la transformée de Fourier. Translation. Lemme de Riemann-Lebesgue. Transformée de Fourier de la gaussienne. Injectivité. Inversion.Produit de convolution dans L1(R). Généralisation : inégalité de Young. Bilinéarité, associativité, commutativité. Convolution et dérivation, et intégration. Translation. Lien entre convolution et transformée de Fourier.Produit scalaire réel, hermitien. Identité du parallélogramme, polarisation.Projection sur un convexe fermé. Cas d’un sous-espace vectoriel fermé. Théorème de Riesz.Orthogonalité. Familles orthonormales. Inégalité de Bessel. Bases hilbertiennes. Espace de Hilbert séparable. Égalité de Parseval.Application : transformée de Fourier dans L2.Séries de Fourier. Polynômes trigonométriques. Densité dans L2. Séries de Fourier et régularité. Théorème de convergence simple de Dirichlet. Théorème de convergence uniforme. Phénomène de Gibbs.

  Compétences à acquérir :

  Acquérir des bases en analyse fonctionnelle et en analyse hilbertienne.Se familiariser avec les espaces de fonctions classiques qui interviennent en probabilités et en analyse.Étudier la transformée de Fourier sur L1 et la convolution.Se familiariser avec l’analyse hilbertienne, et l’appliquer à la transformée de Fourier dans L2 et aux séries de Fourier.

• Méthodes numériques : optimisation

  Méthodes numériques : optimisation

  Ects : 5

  Enseignant responsable :
  DAVID GONTIER
  

  Volume horaire : 50

  Description du contenu de l'enseignement :

  Optimisation continue en une dimension : généralités, notions de convergence, vitesse de convergence, section dorée, autres méthodes.Méthode de descente de gradient, méthode du gradient conjugué.Méthodes de Newton et quasi-Newton (BFGS) pour l’optimisation.Optimisation stochastique.

  Compétences à acquérir :

  Présentation de méthodes numériques pour l'optimisation et d'éléments d'analyse numérique. Mise en œuvre sous forme de travaux pratiques.

UE de parcours

• Algèbre

  Algèbre

  Ects : 4

  Enseignant responsable :
  JACQUES FEJOZ
  

  Volume horaire : 60

  Description du contenu de l'enseignement :

  - Groupes finis et infinis, quotients, solvabilité- Actions de groupes- Anneaux et quotients par leurs idéaux- Corps et extensions, théorème de Galois

  Compétences à acquérir :

  Ce cours introduit quelques-unes des structures algébriques fondamentales (groupes, anneaux, corps) et des constructions qu'on peut leur associer. L'accent est mis sur les exemples, tirés de la géométrie, de l'analyse, de l'algèbre, ou de la physique, sans prérequis autres que de l'algèbre linéaire et du calcul différentiel.

• Anglais 6

  Anglais 6

  Ects : 2

  Description du contenu de l'enseignement :

  Groupes de niveau permettant de décliner compréhension et expression écrite (lettres de motivation, CV, mémos, rapports, synthèses) et compréhension et expression orale (vidéos, public speaking, présentations PP, entretiens, réunions).

  Compétences à acquérir :

  Faire acquérir aux étudiants des connaissances linguistiques spécialisées leur permettant de fonctionner efficacement dans leur futur contexte professionnel. Une expérience pilote déjà menée sur le Portfolio Européen des Langues (CercleS version for Higher Education, approuvée par le Conseil de l’Europe) est susceptible d’être élargie.Parcours et progression différenciés selon les niveaux, utilisation large des ressources vidéo, laboratoire de langues, et NTICE du Centre de Ressources en Langues (utilisation de logiciels intégrée au cours et proposés en auto-formation).

UE Optionnelles

• Théorie des jeux

  Théorie des jeux

  Ects : 4

  Enseignant responsable :
  GUILLAUME VIGERAL
  

  Volume horaire : 40

  Description du contenu de l'enseignement :

  1. Éléments de théorie de la décision. Représentation d'une situation d'interaction stratégique (forme stratégique, forme extensive, stratégies mixtes et de comportement, équivalence dans les jeux à mémoire parfaite). Rationalité bayésienne, connaissance partagée et connaissance commune.2. Forme stratégique : stratégies dominantes, dominées, itérativement dominées. Meilleure réponse, équilibre de Nash, existence dans les jeux finis. Optimalité de Pareto. Jeux classiques.3. Jeux à somme nulle, valeur, théorème du MinMax.4. Forme extensive : induction amont, théorème de Zermelo, équilibre sous-jeux parfait.5. Jeux répétés, coopération endogène.6. Équilibres corrélés.

  Compétences à acquérir :

  Introduction à la théorie des jeux et à l’approche stratégique de la microéconomie.

• Physique statistique

  Physique statistique

  Ects : 4

  Description du contenu de l'enseignement :

  On discutera certains exemples classiques (gaz parfait, paramagnétisme, élasticité des polymères), ainsi que la physique des transitions de phase et des phénomènes collectifs. On évoquera la dynamique vers l'équilibre et les méthodes Monte-Carlo, ainsi que les statistiques quantiques On tentera de maintenir un (difficile) équilibre entre approche intuitive des phénomènes et calculs plus rigoureux.

  Compétences à acquérir :

  Ce cours est une introduction aux idées générales et aux méthodes de la physique statistique. On insistera particulièrement sur les concepts de base (entropie statistique, température) et sur la pertinence des méthodes utilisées dans d'autres disciplines (comme l'économie et la finance, la biologie, ou l'informatique).

  Ce cours est réservé aux étudiants venant du Cycle Préparatoire aux Études Supérieures (CPES, PSL) ayant choisi la spécialité Physique. Il pourra être exceptionnellement suivi, sous réserve d’approbation par les responsables pédagogiques de L3 et du CPES et les enseignants concernés, par des étudiants arrivant à l’Université Paris-Dauphine en L3 et ayant suivi des enseignements de physique lors de leur cursus antérieur.

UE Optionnelles

• Grands enjeux contemporains

  Grands enjeux contemporains

  Ects : 4

  Volume horaire : 36

  Description du contenu de l'enseignement :

  Exercices de synthèse de textes, exposés, entretiens, débats.

  Compétences à acquérir :

  Permettre aux étudiants d’acquérir une meilleure maîtrise de l’écrit et de l’oral

• Allemand 5&6

  Allemand 5&6

  Ects : 4

  Volume horaire : 40

  Description du contenu de l'enseignement :

  Les étudiants seront divisés après un test d’entrée en groupes de niveau. Le but visé est de rendre à chaque niveau l’étudiant capable de communiquer dans le cadre de la vie de tous les jours, ainsi que dans celui du monde professionnel avec des interlocuteurs autochtones. Pour ce faire, on s’attachera non seulement à développer des savoir-faire linguistiques fondamentaux dans les quatre domaines classiques (compréhension de l’écrit et expression écrite, compréhension orale et expression orale), mais aussi à lui donner des informations propres au monde hispanique ou germanophone afin de lui permettre de mieux connaître la culture du pays et d’appréhender les différences culturelles (voir portfolio européen). Introduction à la préparation du ZERTIFIKAT Deutsch fûr den Beruf (ZD) et du Diploma Español Lengua Extranjera (DELE).

  Objectifs selon groupe de niveau : A = consolidation des acquis. B = renforcement de la compréhension et de la communication écrite. C = recherche de l’autonomie langagière complète au travers du développement des expressions idiomatiques. Les séances ont lieu toute l’année, et l’évaluation compte pour le semestre 6.

  Contenu selon groupe de niveau : A = renforcement de l’expression écrite (rédaction de courts compte-rendus, de lettres personnelles et professionnelles) ; présentation orale d’expériences et de projets ayant trait à la vie quotidienne ou à la vie professionnelle. B = travail sur des documents authentiques de la presse et de la télévision ; rédaction de lettres de motivation ; entraînement à l’entretien d’embauche. C = lecture de longs textes d’actualités ; étude de vidéos et de films ; rédaction de lettres, de CV et de rapports sur des sujets professionnels ou culturels.
• Espagnol 5&6

  Espagnol 5&6

  Ects : 4

  Enseignant responsable :
  BEATRICE AMISSE
  

  Volume horaire : 40

  Description du contenu de l'enseignement :

  Les étudiants seront divisés après un test d’entrée en groupes de niveau. Le but visé est de rendre à chaque niveau l’étudiant capable de communiquer dans le cadre de la vie de tous les jours, ainsi que dans celui du monde professionnel avec des interlocuteurs autochtones. Pour ce faire, on s’attachera non seulement à développer des savoir-faire linguistiques fondamentaux dans les quatre domaines classiques (compréhension de l’écrit et expression écrite, compréhension orale et expression orale), mais aussi à lui donner des informations propres au monde hispanique ou germanophone afin de lui permettre de mieux connaître la culture du pays et d’appréhender les différences culturelles (voir portfolio européen). Introduction à la préparation du ZERTIFIKAT Deutsch fûr den Beruf (ZD) et du Diploma Español Lengua Extranjera (DELE).

  Objectifs selon groupe de niveau : A = consolidation des acquis. B = renforcement de la compréhension et de la communication écrite. C = recherche de l’autonomie langagière complète au travers du développement des expressions idiomatiques. Les séances ont lieu toute l’année, et l’évaluation compte pour le semestre 6.

  Contenu selon groupe de niveau : A = renforcement de l’expression écrite (rédaction de courts compte-rendus, de lettres personnelles et professionnelles) ; présentation orale d’expériences et de projets ayant trait à la vie quotidienne ou à la vie professionnelle. B = travail sur des documents authentiques de la presse et de la télévision ; rédaction de lettres de motivation ; entraînement à l’entretien d’embauche. C = lecture de longs textes d’actualités ; étude de vidéos et de films ; rédaction de lettres, de CV et de rapports sur des sujets professionnels ou culturels.
• Sport 5&6

  Sport 5&6

  Ects : 4