Mathématiques Appliquées et Théoriques - 2ème année de Master

UE Introductifs

• A review of PDEs

  A review of PDEs

  Description du contenu de l'enseignement :
  Distributions, Fourier transform, linear PDE's in Euclidean space
  Self-adjoint compact operators, solution to the non-stationary Stokes equation in a domain, application to Navier-Stokes equations
  Some notions on Schrödinger's equation (if time permits).

• A review of numerical methods for PDEs

  A review of numerical methods for PDEs

  Compétence à acquérir :
  Basic notions on numerical methods for the approximation of PDE solutions

  Description du contenu de l'enseignement :
  Examples of partial di fferential equations and notion of well-posedness.
  Presentation of finite-difference, finite-element, finite-volume (if time permits) and spectral methods.
  Main concepts in the analysis of numerical methods.
  Practical sessions in Python.

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• Introduction to non linear PDEs

  Introduction to non linear PDEs

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Existence of weak solutions of linear and nonlinear elliptic PDEs by variational methods.
  Regularity of weak solutions to linear and nonlinear elliptic PDEs.
  Maximum principles and applications.
  Fixed point theorems applied to nonlinear elliptic PDEs.
  Bifurcation theory applied to nonlinear elliptic PDEs.

  Description du contenu de l'enseignement :
  Existence of weak solutions of linear and nonlinear elliptic PDEs by variational methods.
  Regularity of weak solutions to linear and nonlinear elliptic PDEs.
  Maximum principles and applications.
  Fixed point theorems applied to nonlinear elliptic PDEs.
  Bifurcation theory applied to nonlinear elliptic PDEs.

• Introduction to evolution PDEs

  Introduction to evolution PDEs

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  In a first part, we will present several results about the well-posedness issue for evolution PDE.
  - Parabolic equation. Existence of solutions for parabolic equations by the mean of the variational approach and the existence theorem of J.-L. Lions.
  - Transport equation. Existence of solutions by the mean of the characterics method and renormalization theory of DiPerna-Lions. Uniqueness of solutions thanks to Gronwall argument and duality argument.
  - Evolution equation and semigroup. Linear evolution equation, semigroup and generator. Duhamel formula and mild solution. Duality argument and the well-posedness issue. Semigroup Hille-Yosida-Lumer-Phillips’ existence theory.
  
  In a second part, we will mainly consider the long term asymptotic issue.
  - More about the heat equation. Smoothing effect thanks to Nash argument. Rescaled (self-similar) variables and Fokker-Planck equation. Poincaré inequality and long time asymptotic (with rate) in L2 Fisher information, log Sobolev inequality and long time convergence to the equilibrium (with rate) in L1.
  - Entropy and applications. Dynamical system, equilibrium and entropy methods. Self-adjoint operator with compact resolvent. A Krein-Rutman theorem for conservative operator. Relative entropy for linear and positive PDE. Application to a general Fokker-Planck equation. Weighted L2 inequality for the scattering equation. 
  - Markov semigroups and the Harris-Meyn-Tweedie theory.
  
  In a last part, we will investigate how the different tools we have introduced before can be useful when considering a nonlinear evolution problem.
  - The parabolic-elliptic Keller-Segel equation. Existence, mass conservation and blow up. Uniqueness. Self-similarity and long time behavior.
• Hamiltonian dynamical systems

  Hamiltonian dynamical systems
• Calcul stochastique

  Calcul stochastique

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  The first part of the course presents stochastic calculus for continuous semi-martingales. The second part of the course is devoted to Brownian stochastic differential equations and their links with partial differential equations. This course is naturally followed by the course “Jump processes”. Lecture notes will be hopefully available.

  Description du contenu de l'enseignement :
  Ce cours fondamental présente en profondeur le calcul stochastique pour les semi-martingales continues. La seconde partie est consacrée aux EDS Browniennes et aux liens avec les EDP. Il est complété par le cours »Processus à sauts ». Il fait l’objet d’un polycopié.
  
  Rappels de probabilité.
  Processus aléatoires, mouvement brownien, semi-martingales continues.
  Intégrale stochastique, formule d’Itô pour les semi-martingales et théorème de Girsanov.
  Equations différentielles stochastiques, processus de diffusion.
  Formule de Feynman-Kac et liens avec l’équation de la chaleur.
  Représentation probabiliste de la solution du problème de Dirichlet.

• Numerical methods for PDE and control

  Numerical methods for PDE and control

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Ce cours est composé de 5 chapitres. Chacun des chapitres est associé à une séance de travail sur machine (TP, en Matlab/GNU Octave et Free Fem).
  
  Optimisation numérique et équations aux dérivées partielles
  Méthodes numériques pour le contrôle optimal
  Traitement numérique des inégalités variationnelles
  Introduction à la méthode des éléments finis
  Introduction aux méthodes de réduction

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• Contrôle stochastique

  Contrôle stochastique

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Les EDP et les problèmes de contrôle stochastique apparaissent naturellement en contrôle des risques, évaluation d’option, calibration, gestion de portefeuille, liquidation optimale d’ordre... L’objectif de ce cours est d’étudier les techniques fines associées et notamment de présenter en profondeur la notion de solution de viscosité qui s’est imposée ces dernières années.

  Description du contenu de l'enseignement :
  1. Espérances conditionnelles et EDP linéaires paraboliques
  2. Formulation de problèmes de contrôle stochastique standards
  3. Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman
  4. Application à la gestion de portefeuille, aux problèmes d’arrêt optimal et de switching.

• Variational and geodesic methods for image analysis

  Variational and geodesic methods for image analysis

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  This course, after giving a short introduction to digital image processing, will present an overview of variational methods for Image segmentation. This will include deformable models, known as active contours, solved using finite differences, finite elements, level sets method, fast marching method. A large part of the course will be devoted to geodesic methods, where a contour is found as a shortest path between two points according to a relevant metric. This can be solved efficiently by fast marching methods for numerical solution of the Eikonal equation. We will present cases with metrics of different types (isotropic, anisotropic, Finsler) in different spaces. All the methods will be illustrated by various concrete applications, like in biomedical image applications.
• Introduction à la mécanique céleste et à la mécanique hamiltonienne

  Introduction à la mécanique céleste et à la mécanique hamiltonienne

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  La mécanique céleste est plus vivante que jamais. Après un renouveau résultant de la conquête spatiale et de la nécessité des calculs des trajectoires des engins spatiaux, un deuxième souffle est apparu avec l’étude des phénomènes chaotiques. Cette dynamique complexe permet des variations importantes des orbites des corps célestes, avec des conséquences physiques importantes qu’il faut prendre en compte dans la formation et l’évolution du système solaire. Avec la découverte des planètes extra solaires, la mécanique céleste prend un nouvel essor, car des configurations qui pouvaient paraître académiques auparavant s’observent maintenant, tellement la diversité des systèmes observés est grande. La mécanique céleste apparaît aussi comme un élément essentiel permettant la découverte et la caractérisation des systèmes planétaires qui ne sont le plus souvent observés que de manière indirecte.
  Le cours a pour but de fournir les outils de base qui permettront de mieux comprendre les interactions dynamiques dans les systèmes gravitationnels, avec un accent sur les systèmes planétaires, et en particulier les systèmes planétaires extra solaires. Le cours vise aussi à présenter les outils les plus efficaces pour la mise en forme analytique et numérique des problèmes généraux des systèmes dynamiques conservatifs.

  Description du contenu de l'enseignement :
  Le problème des deux corps. Aperçu de quelques intégrales premières, réduction du nombre de degrés de liberté, trajectoire, évolution temporelle. Développements classiques du problème des deux corps.
  Introduction à la mécanique analytique. Principe de moindre action, Lagrangien, Hamiltonien.
  Équations canoniques. Crochets de Poisson, intégrales premières, transformations canoniques.
  Propriétés des systèmes Hamiltoniens. Systèmes intégrables. Flot d’un système Hamiltonien.
  Intégrateurs numériques symplectiques.
  Systèmes proches d’intégrable. Perturbations. Série de Lie.
  Développement du potentiel en polynômes de Legendre.
  Évolution à long terme d’un système planétaire hiérarchique, mécanisme de Lidov- Kozai. Application aux exoplanètes.
  Mouvements chaotiques.
  Exposants de Lyapounov. Analyse en fréquence.

• Théorie des jeux à champ moyen

  Théorie des jeux à champ moyen

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Les jeux de champ moyen sont une théorie nouvelle développée par Jean-Michel Lasry et Pierre-Louis Lions qui traduit la limite quand le nombre de joueurs tend vers l’infini dans des jeux différentiels stochastiques. Cela donne lieu à un système nouveau d’équations aux dérivées partielles couplant une équation d’Hamilton-Jacobi (backward) à une équation de Fokker-Planck (forward). Nous présenterons dans ce cours quelques résultats d’existence, d’unicité et les connections avec le contrôle optimal, le transport de masse et certaines équations aux dérivées partielles posées sur l’espace des mesures de probabilité.
• Méthode s de Monte-Carlo et méthodes déterministes pour les équations paraboliques

  Méthode s de Monte-Carlo et méthodes déterministes pour les équations paraboliques

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Ce cours présente en profondeur les principales techniques d’évaluation d’options par technique de Monte-Carlo, ainsi que les méthodes de différences finies pour les équations paraboliques.

  Description du contenu de l'enseignement :
  • Généralités sur les méthodes de Monte-Carlo
  1. Généralités sur la convergence des estimateurs des moments
  2. Générateurs de loi uniforme
  3. Simulation d’autres lois (méthode de rejet, transformation ….)
  4. Suites à discrépance faible
  
  • Simulation de processus et discrétisation de payoff
  1. Modèle de Black-Scholes
  2. Discrétisation d’EDS
  3. Ponts de diffusions et applications aux options asiatiques, à barrière et lookback.
  
  • Méthodes de réduction de variance
  1. Contrôle antithétique
  2. Régularisation de payoff
  3. Variable de contrôle
  4. Importance sampling
  
  • Calcul des sensibilités (grèques)
  1. Approches par différences finies
  2. Grèques dans le modèle de Black-Scholes
  3. Processus tangent et grèques
  4. Calcul de Malliavin et grèques
  
  • Calcul d’espérances conditionnelles et évaluation d’options américaines
  
  • Méthodes de différences finies
  1. Conditions générales de stabilité et de convergence
  2. Exemples de schémas : équations linéaires, problèmes variationnels, équations d’Hamilton-Jacobi-Bellman.

• Processus à sauts

  Processus à sauts

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Ce cours vise à maîtriser les techniques d’analyse et de calcul stochastique propres aux processus à sauts. Il vient en complément du cours « Calcul stochastique » qui se limite aux processus à trajectoires continues.

  Description du contenu de l'enseignement :
  Processus de Poisson, processus de Poisson composés,
  Distributions infiniment divisibles,
  Mesures aléatoires de Poisson,
  Processus de Lévy,
  Décomposition de Lévy-Khintchine,
  Formule d'Itô pour les processus de Lévy,
  Équations différentielles stochastiques dirigées par un processus de Lévy,
  Equivalence des mesures, exponentielle de Doleans-Dade, théorème de Girsanov
  Modèle de Merton
  Processus de Hawkes

• Grandes déviations et applications

  Grandes déviations et applications

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Large deviations are at the center of modern probability and statistics.
  The theory originated form the risk analysis for insurance companies.
  Today there are applications in almost all domains of applied mathematics.

  Description du contenu de l'enseignement :
  - Generalities on large deviations: Cramer Theorem and Varadhan’s lemma. Variational principles.
  - Local large deviations, applications in statistical mechanics (equivalence of ensembles).
  - Connection with the viscous solutions in Hamilton-Jacobi equatio

• Chaire Equation aux dérivées partielles

  Chaire Equation aux dérivées partielles

  Description du contenu de l'enseignement :
  Le cours aura lieu le vendredi matin au Collège de France
  Pour plus d'information consulter le site : https://www.college-de-france.fr/site/en-pierre-louis-lions/_course.htm

• Systèmes dynamiques hamiltoniens

  Systèmes dynamiques hamiltoniens

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  1. Reminder on differential equations
  2. Hamiltonian systems on R2n
  3. Smooth manifolds, tangent and cotangent bundles
  4. Differential forms
  5. Symplectic manifolds
  6. Hamiltonian systems on symplectic manifolds
  7. Integrability of Hamiltonian systems
  8. Hamiltonian perturbation theory
  9. The KAM theorem
  10. The Nekhoroshev theorem

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• Convexité cachée en analyse non-linéaire

  Convexité cachée en analyse non-linéaire

  Description du contenu de l'enseignement :
  Les méthodes d'analyse convexe sont simples, puissantes et robustes mais paraissent souvent d'utilisation limitée. L'objet du cours est d'étudier des exemples significatifs où une structure convexe est dissimulée qui, une fois dévoilée, ouvre la voie à des résultats d'existence et d'unicité globales inattendues.
  On discutera notamment les équations de Monge-Ampère (qui interviennent en géométrie), celles d'Euler (en mécanique des fluides) et de Born-Infeld (en électromagnétisme et physique des hautes énergies).

• équations de réaction-diffusion et dynamiques des populations biologiques

  équations de réaction-diffusion et dynamiques des populations biologiques

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Des phénomènes observés dans des contextes très variés sont représentés par des équations de type réaction-diffusion : dynamique des populations, écologie, épidémiologie, invasions biologiques, comportements collectifs, diffusion d’opinions ou de normes sociales. Ce cours développera des méthodes mathématiques pour analyser ce type d’équations. Elles seront ensuite mises en œuvre pour établir les principales propriétés de ces équations.

  Description du contenu de l'enseignement :
  Une première partie sera consacrée aux propriétés fondamentales des équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques linéaires et non linéaires. On étudiera ensuite les états stationnaires de ces équations, les propriétés dynamiques et l’existence de solutions de type ondes progressives. On s’attachera en particulier à en déterminer les vitesses et les formes ainsi que les propriétés qualitatives.
  
  La seconde partie du cours décrira quelques modèles de dynamique des populations pour la biologie et différentes applications. Dans le cadre de ces modèles, on analysera les effets des environnements hétérogènes sur la persistance des espèces et la forme des invasions biologiques en fonction de l’environnement. On développera aussi des modèles permettant de décrire les effets de changements climatiques sur la persistance et la distribution de certaines espèces biologiques.

• Théorie spectrale et méthodes variationnelles

  Théorie spectrale et méthodes variationnelles

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Éléments de théorie spectrale, le Laplacien sur un ouvert borné
  Modèles à N corps
  Modèle Hartree-Fock
  Problème concernant la caractérisation de Weyl des éléments du spectre
  Problème sur les valeurs propres du Laplacien de Robin
• Systèmes Quantiques: Dynamique et contrôle

  Systèmes Quantiques: Dynamique et contrôle

  Ects : 6
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  See
  http://cas.ensmp.fr/~rouchon/MasterUPMC/index.htmlthe web page of the course. The course will be taught at UPMC.

• Contrôle non linéaire basé sur la planéité

  Contrôle non linéaire basé sur la planéité

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  This course is an introduction to the basics of nonlinear systems theory and control design, with a particular focus on combinations of motion planning and reference trajectory tracking. Solutions of these two problems are dramatically simplified in the class of differentially flat systems. This latter class is introduced in an elementary way, with many examples, and studied in the framework of the differential geometry of jets of infinite order.

  Description du contenu de l'enseignement :
  - A brief introduction to differential geometry and dynamical systems
  - Control systems, controllability
  - System equivalence and differential flatness
  - Applications to motion planning
  - Applications to stable trajectory tracking.

• Dimère et pavages aléatoires

  Dimère et pavages aléatoires

  Description du contenu de l'enseignement :
  Résumé: Un domino est l’union de deux carrés unité partageant une arête. Étant donné un rectangle m × n, est-il possible de le paver avec des dominos, c’est-à-dire de couvrir sa surface avec des dominos sans qu’il y ait de chevauchements ? Si oui, de combien de façons ? À quoi ressemble un pavage typique ? Qu’en est-il pour un autre domaine obtenu en découpant une portion du réseau Z 2 le long d’arêtes ?
  En remplaçant Z 2 par le réseau triangulaire et les dominos par des losanges obtenus en accolant deux triangles adjacents, on obtient un modèle de pavages par losanges. Les pavages par dominos et par losanges sont des exemples de modèles de dimères. Ces modèles étudiés par les physiciens (Fisher, Kasteleyn, Temperley. . . ) dans les années 1960 ont connu un regain d’intérêt dans la communauté mathématique à la fin des années 1990 qui a conduit à des développements impressionants de la théorie (Cohn, Johansson, Kenyon, Okounkov, Propp, Sheffield, Wilson. . . ) Nous étudierons d’abord certains aspects combinatoires relatifs au dénombrement des configurations de ces modèles, ainsi que les relations avec d’autres modèles combinatoires (surfaces aléatoires, arbres couvrants, marches aléatoires à boucles effacées,. . . ).
  
  Ensuite nous étudierons ces modèles sur des réseaux bipartis périodiques planaires infinis, en donnant une classification des mesures de Gibbs ergodiques, et en mettant en relief le lien entre quantités probabilistes et objets algébriques liés à la structure de ces réseaux.
  
  Puis, nous discuterons de la forme typique d’un pavage par dominos d’un grand domaine (phénomène du cercle arctique, forme limite déterministe). Les fluctuations autour du comportement limite macroscopique peuvent être reliées au spectre des grandes matrices aléatoires d’une part, et au champ libre gaussien sans masse d’autre part, impliquant des propriétés d’invariance conforme de ces modèles dans la limite d’échelle.

• Marches aléatoires sur les groupes

  Marches aléatoires sur les groupes

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Il y a une double motivation possible pour une étude des marches aléatoires sur les groupes.
  - Du point de vue de la théorie des groupes, les marches aléatoires sur les groupes fournissent de nombreux invariants probabilistes du groupe. Dans le cas de groupes de type fini, ces invariants sont étroitement liés à la géométrie des graphes de Cayley correspondants. Un problème plus difficile qui reste un défi est de relier les invariants probabilistes aux propriétés algébriques du groupe en question.
  - Du point de vue des marches aléatoires, les espaces homogènes fournissent un contexte riche qui généralise des exemples classiques de marches aléatoires sur Zd.  L’invariance du noyau de Markov par rapport à l’action de groupe impose la structure naturelle et des propriétés stochastiques intéressantes de marches aléatoire et de leurs trajectoires.
  
  Les sujets du cours incluront la récurrence / la transience, les probabilités de transition, l’isopérimétrie, la vitesse de la fuite et l’entropie, comportement asymptotique des trajectoires, bord de Martin et de Poisson des marches aléatoires.
  
  Nous commençons par des résultats basiques, tels que les estimations gaussiennes de Carne Varopoulos, les inégalités entre les  probabilités de transition et le profil isopérimétrique, le résultat de Margulis sur l’absence de fonctions harmoniques positives pour les marches aléatoires symétrique  sur les groupes nilpotents, le critère d’entropie  de Kaimanovich Vershik et Derriiennic, caractérisation  de groupes moyennables par l’existence de la mesure dont le bord de Poisson est trivial (Furstenberg, Rosenblatt, Kaimanovich Vershik).
  
  À la fin du cours nous prévoyons de discuter des progrès très récents dans le domaine, tels que la construction des mesures dont le bord de Poisson est non trivial sur tous les groupes de type fini, à l’exception de groupes virtuellement nilpotents (Hartmann, Frisch, Tamuz et Vahidi-Ferdowsi, 2018).
  Aucun prérequis spécifique en probabilité n’est requis.
• Temps de mélange & chaines de Markov

  Temps de mélange & chaines de Markov

  Description du contenu de l'enseignement :
  Combien de fois faut-il battre un paquet de 52 cartes pour que la permutation aléatoire obtenue soit à peu près uniformément distribuée ? Ce cours est une introduction sans pré-requis à la théorie moderne des temps de mélange des chaînes de Markov. Un interêt particulier sera porté au célèbre phénomène de "cutoff", qui est une transition de phase remarquable dans la convergence de certaines chaînes vers leur distribution stationnaire. Parmi les outils abordés figureront les techniques de couplage, l'analyse spectrale, le profil isopérimétrique, ou les inégalités fonctionnelles de type Poincaré. En guise d'illustration, ces méthodes seront appliquées à divers exemples classiques issus de contextes variés: mélange de cartes, marches aléatoires sur les groupes, systèmes de particules en intéraction, algorithmes de Metropolis-Hastings, etc. Une place importante sera accordée aux marches sur graphes et réseaux, qui sont aujourd'hui au coeur des algorithmes d'exploration d'Internet et sont massivement utilisées pour la collecte de données et la hiérarchisation des pages par les moteurs de recherche.
  
  Notes de cours, examen 2019 et correction (J. Salez)
  Markov Chains and Mixing Times (D. Levin, Y. Peres & E. Wilmer)
  Mathematical Aspects of Mixing Times in Markov Chains (R. Montenegro & P. Tetali)
  Mixing Times of Markov Chains: Techniques and Examples (N. Berestycki)
  Reversible Markov Chains and Random Walks on Graphs (D. Aldous & J. Fill)

• Géométrie algébrique réelle

  Géométrie algébrique réelle

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Ce cours est une introduction aux systèmes de particules en interaction (IPS). Les IPS ont été introduits par Spitzer dans les années 1960 pour étudier des modèles issus de la mécanique statistique. Les premiers IPS ont une mesure d’équilibre correspondant à la mesure de Gibbs classique pour des modèles présentant une transition de phase, tel que le modèle d’Ising. La classe de modèles a été vite agrandie pour étudier divers phénomènes issus de la physique, de la biologie ou des sciences sociales : la croissance des cristaux, la diffusion d’infections ou des feux de forêts, la dynamique d’opinions…
  
  D’un point de vue mathématique, il s’agit de systèmes de particules sur réseaux qui évoluent selon un processus de Markov de temps continue. L’enjeu principal est celui de déterminer le comportement en temps long de systèmes ayant un nombre infini de particules en interactions locales, notamment caractériser les mesures invariantes et leur bassin d’attraction.
  
  On analysera en détail deux modèles classiques : le modèle d’Ising stochastique et le processus de contact. Cela nous permettra d’introduire des outils tels que le trou spectral et les temps de mélanges. Ensuite on analysera le modèle East, qui fait partie des modèles dit à contraintes cinétiques (KCM). Ces modèles, introduits en physique pour étudier les dynamiques vitreuses, nécessitent des outils adaptés pour l’étude de leur comportement en temps long. On terminera avec la description des plusieurs questions qui restent ouvertes dans l’étude des KCM.
• Chaire Sciences des données

  Chaire Sciences des données

  Description du contenu de l'enseignement :
  Le cours aura lieu le mercredi matin au Collège de France
  Pour plus d'information consulter le site : https://www.college-de-france.fr/site/stephane-mallat/_course.htm
  La validation se fera sur projet, en travaillant sur l'un des challenge proposés sur le site : https://challengedata.ens.fr/en/home

• Chaire géométrie algébrique

  Chaire géométrie algébrique

UE Optionnelles

• Grandes déviations et applications

  Grandes déviations et applications

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Large deviations are at the center of modern probability and statistics.
  The theory originated form the risk analysis for insurance companies.
  Today there are applications in almost all domains of applied mathematics.

  Description du contenu de l'enseignement :
  - Generalities on large deviations: Cramer Theorem and Varadhan’s lemma. Variational principles.
  - Local large deviations, applications in statistical mechanics (equivalence of ensembles).
  - Connection with the viscous solutions in Hamilton-Jacobi equatio

• Théorie des champs conformes de Liouville

  Théorie des champs conformes de Liouville

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Liouville conformal field theory was introduced in Physics by Polyakov in 1981 in his theory of summation of metrics on a Riemann surface (also called quantum geometry of bosonic strings). Thus, Liouville field theory may be seen as a random version of the theory of Riemann surfaces. In the Physics literature, the theory is defined formally using a 2-d analogue of the path integral of Feynman. The goal of this course is to give a rigorous probabilistic construction of the theory, built on the theory of the Gaussian free field (GFF) and on the exponential of the GFF called Gaussian multiplicative chaos (after J.-P. Kahane). We will show that the theory possesses some conformal symmetries, which justifies calling it a Conformal Field Theory (CFT). We will also state some precise conjectures relating the theory to the scaling limit of large planar maps (seen as Riemann surfaces).

  Description du contenu de l'enseignement :
  Introduction to the GFF and Gaussian multiplicative chaos
  Construction of the correlations and the measures of Liouville field theory. Basic properties of the theory as a CFT: conformal covariance, Weyl anomaly, etc.
  KPZ relation: conjectured relation between the correlations of the theory and certain observables of large planar maps (volume form, spin field, etc.).

• Mécanique statistique des systèmes

  Mécanique statistique des systèmes

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Le but de la mécanique statistique est de décrire le comportement de grande échelle de familles de constituants de base, souvent appelés « spins », qui interagissent via des règles locales simples et sont soumis à du bruit. Nous commencerons par explorer les propriétés fondamentales du modèle d’Ising, pour lequel les spins prennent les valeurs ±1 et sont associés aux sommets d’un graphe, typiquement Zd, et les interactions favorisent l’alignement de spins voisins. Le cœur du cours portera sur des variantes désordonnées de ce modèle, où les interactions entre spins voisins sont tirées au sort préalablement, et peuvent favoriser l’alignement comme « l’anti-alignement » des spins. Ces modèles sont appelés « verres de spins », et présentent déjà une structure très riche quand le graphe sous-jacent est le graphe complet. Les physiciens ont pu prédire de nombreuses propriétés remarquables pour ces modèles, et le but du cours sera de présenter certains des résultats rigoureux sur ce sujet. Les méthodes développées sont également utiles dans d’autres contextes comme certains problèmes combinatoires aléatoires ou certains modèles de réseaux de neurones.
• Déformations de groupes discrets dans les groupes de Lie

  Déformations de groupes discrets dans les groupes de Lie

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  Ce cours se veut une introduction progressive à la théorie des représentations Anosov, développée durant les quinze dernières années. Cette introduction sera guidée par les questions suivantes :
  - Quand un sous-groupe discret G d’un groupe de Lie G peut-il être déformé ? (i.e. quand existe-t-il une famille à un paramètre non triviale de morphismes ?t : G ? G telle que ?0 est l’inclusion ?)
  - Lorsque de telles déformations existent, quelles propriétés dynamiques et géométriques du groupe discret préservent-elles ?
  
  Dans un premier temps, afin d’illustrer les phénomènes de rigidité fréquents dans ce contexte, nous démontrerons le théorème de rigidité locale des réseaux (théorème de Calabi—Weil) et nous énoncerons les autres grands théorèmes de rigidité (Mostow, Margulis…).
  
  En regard de ces résultats de rigidité, nous présenterons ensuite de nombreux exemples explicites de déformations de groupes discrets. Nous décrirons en particulier certains aspects des variétés de caractères des groupes de surfaces, qui font l’objet d’une recherche active.
  
  Enfin, nous nous intéresserons aux propriétés géométriques et dynamiques des groupes discrets qui sont préservées par déformation. Nous introduirons alors la notion de morphisme Anosov, qui fournit un cadre unifié à l’étude de nombreuses déformations d’origine géométrique (représentations quasi- fuchsiennes, convexes divisibles, variétés anti-de Sitter globalement hyperboliques).
  
  Les thématiques abordées dans ce cours sont proches de celles du cours « Variété des caractères et structures hyperboliques en dimension 3 » du Master de Paris 6. Bien qu’indépendant, ce cours gagnera à être suivi après celui d’Antonin Guilloux.
• Méthode d'entropie

  Méthode d'entropie

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  An overview over recently developed methods for proving decay to equilibrium for dissipative dynamical systems is presented. The methodology is based on Lyapunov functionals, often with the physical interpretation of a (generalized) entropy or free energy.
  The course features a short formal introduction to stochastic processes, aimed at an audience with a PDE background. The concepts of martingales and time reversal of homogeneous Markov processes are used to derive local decay results for relative entropies. These are applied to various examples of Levy processes, including applications in kinetic transport theory, in mathematical biology, and in chemical reaction networks. Quantitative decay results are derived from entropy decay inequalities or from inequalities between entropy decay and its time derivative, i.e.
  by the celebrated Bakry-Emery approach.
  A focus is on hypocoercive problems, where decay to equilibrium holds despite the fact that the decay term for the natural entropy functionals is only semi-denite. Various recent approaches to such problems, mainly in kinetic theory, are compared and united.
  Finally, examples of nonlinear problems are discussed, and the question of structural assumptions allowing for entropy decay is examined.