Mathématiques Appliquées et Théoriques - 2ème année de Master

UE Introductifs

• A review of PDEs

  A review of PDEs

  Volume horaire : 15
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  - Lp spaces, Sobolev spaces ;
  - Distributions, Fourier transform, Laplace, heat and Schrödinger equations in the whole space ;
  - Self-adjoint compact operators ;
  - Laplace and Poisson equations in a domain.

  Enseignant responsable :

  • DAVID GONTIER

• A review of numerical methods for PDEs

  A review of numerical methods for PDEs

  Volume horaire : 15
  Compétence à acquérir :
  Basic notions on numerical methods for the approximation of PDE solutions
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Review of classical numerical methods for PDEs
  Tests and Applications with Matlab

  Bibliographie, lectures recommandées
  R. J. LEVEQUE. Numerical methods for conservation laws, Lectures in Mathematics. ETH Zürich. Birkhäuser,
  second edition, 1992.
  J. C. STRIKWERDA. Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM, second edition, 2004. DOI:
  10.1137/1.9780898717938.
  

  Enseignant responsable :

  • GUILLAUME LEGENDRE

Cours de base - choisir 2 cours minimum parmi :

• Introduction to non linear PDEs

  Introduction to non linear PDEs

  Ects : 6
  Volume horaire : 30
  Compétence à acquérir :
  Existence of weak solutions of linear and nonlinear elliptic PDEs by variational methods.
  Regularity of weak solutions to linear and nonlinear elliptic PDEs.
  Maximum principles and applications.
  Fixed point theorems applied to nonlinear elliptic PDEs.
  Bifurcation theory applied to nonlinear elliptic PDEs.
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Existence of weak solutions of linear and nonlinear elliptic PDEs by variational methods.
  Regularity of weak solutions to linear and nonlinear elliptic PDEs.
  Maximum principles and applications.
  Fixed point theorems applied to nonlinear elliptic PDEs.
  Bifurcation theory applied to nonlinear elliptic PDEs.

  Bibliographie, lectures recommandées
  L.C. Evans, Partial Differential equations (Graduate Studies in Mathematics 19, AMS).
  L. Nirenberg, Topics in Nonlinear Functional Analysis (Courant Lecture Notes Series 6, AMS).
  

  Enseignant responsable :

  • ERIC SERE

• Introduction to evolution PDEs

  Introduction to evolution PDEs

  Ects : 6
  Compétence à acquérir :
  In a first part, we will present several results about the well-posedness issue for evolution PDE.
  - Parabolic equation. Existence of solutions for parabolic equations by the mean of the variational approach and the existence theorem of J.-L. Lions.
  - Transport equation. Existence of solutions by the mean of the characterics method and renormalization theory of DiPerna-Lions. Uniqueness of solutions thanks to Gronwall argument and duality argument.
  - Evolution equation and semigroup. Linear evolution equation, semigroup and generator. Duhamel formula and mild solution. Duality argument and the well-posedness issue. Semigroup Hille-Yosida-Lumer-Phillips’ existence theory.
  
  In a second part, we will mainly consider the long term asymptotic issue.
  - More about the heat equation. Smoothing effect thanks to Nash argument. Rescaled (self-similar) variables and Fokker-Planck equation. Poincaré inequality and long time asymptotic (with rate) in L2 Fisher information, log Sobolev inequality and long time convergence to the equilibrium (with rate) in L1.
  - Entropy and applications. Dynamical system, equilibrium and entropy methods. Self-adjoint operator with compact resolvent. A Krein-Rutman theorem for conservative operator. Relative entropy for linear and positive PDE. Application to a general Fokker-Planck equation. Weighted L2 inequality for the scattering equation. 
  - Markov semigroups and the Harris-Meyn-Tweedie theory.
  
  In a last part, we will investigate how the different tools we have introduced before can be useful when considering a nonlinear evolution problem.
  - The parabolic-elliptic Keller-Segel equation. Existence, mass conservation and blow up. Uniqueness. Self-similarity and long time behavior.
  

  Enseignant responsable :

  • STEPHANE MISCHLER

• Systèmes dynamiques hamiltoniens

  Systèmes dynamiques hamiltoniens

  Ects : 6
  Volume horaire : 30
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  1. Reminder on differential equations
  2. Hamiltonian systems on R2n
  3. Smooth manifolds, tangent and cotangent bundles
  4. Differential forms
  5. Symplectic manifolds
  6. Hamiltonian systems on symplectic manifolds
  7. Integrability of Hamiltonian systems
  8. Hamiltonian perturbation theory
  9. The KAM theorem
  10. The Nekhoroshev theorem

  Bibliographie, lectures recommandées
  V.I. Arnold, Geometric methods in the theory or ordinary differential equations
  V.I. Arnold, Mathematical methods in classical mechanics
  J.M. Lee, Introduction to smooth manifolds
  D. McDuff and D. Salamon, Introduction to symplectic topology
  A. Cannas da Silva, Lectures on symplectic geometry
  G. Benettin, The elements of Hamiltonian perturbation theory
  

  Enseignant responsable :

  • JACQUES FEJOZ

• Calcul stochastique

  Calcul stochastique

  Ects : 6
  Volume horaire : 36
  Compétence à acquérir :
  The first part of the course presents stochastic calculus for continuous semi-martingales. The second part of the course is devoted to Brownian stochastic differential equations and their links with partial differential equations. This course is naturally followed by the course “Jump processes”. Lecture notes will be hopefully available.
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Ce cours fondamental présente en profondeur le calcul stochastique pour les semi-martingales continues. La seconde partie est consacrée aux EDS Browniennes et aux liens avec les EDP. Il est complété par le cours »Processus à sauts ». Il fait l’objet d’un polycopié.
  
  Rappels de probabilité.
  Processus aléatoires, mouvement brownien, semi-martingales continues.
  Intégrale stochastique, formule d’Itô pour les semi-martingales et théorème de Girsanov.
  Equations différentielles stochastiques, processus de diffusion.
  Formule de Feynman-Kac et liens avec l’équation de la chaleur.
  Représentation probabiliste de la solution du problème de Dirichlet.
  The first part of the course presents stochastic calculus for continuous semi-martingales. The second part of the course is devoted to Brownian stochastic differential equations and their links with partial differential equations. This course is naturally followed by by the course "Jump processes". Lecture notes will be hopefully available. Contents:
  
  Probability basics
  Stochastic processes, Brownian motion, continuous semi-martingales
  Stochastic integral, Itô formula for semi-martingales and Girsanov theorem
  Stochastic differential equations, diffusion processes
  Feynman-Kac formula and link with heat equation
  Probabilistic representation of the Dirichlet problem.

  Enseignant responsable :

  • DJALIL CHAFAI

• Numerical methods for PDE and control

  Numerical methods for PDE and control

  Ects : 6
  Volume horaire : 30
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Ce cours est composé de 5 chapitres. Chacun des chapitres est associé à une séance de travail sur machine (TP, en Matlab/GNU Octave et Free Fem).
  
  Optimisation numérique et équations aux dérivées partielles
  Méthodes numériques pour le contrôle optimal
  Traitement numérique des inégalités variationnelles
  Introduction à la méthode des éléments finis
  Introduction aux méthodes de réduction
  
  English version :
  
  This course is composed of 5 chapters :
  Numerical optimization and partial differential equations
  Numerical methods for optimal control
  Numerical treatment of variational inequalities
  Introduction to the finite element method
  Introduction to reduction methods
  Each chapter is associated with a working session on the machine (TP, in Matlab/GNU Octave and Free Fem).

  Enseignant responsable :

  • JULIEN SALOMON

• Introduction to statistical mechanics

  Introduction to statistical mechanics

  Ects : 6
  Volume horaire : 20
  Compétence à acquérir :
  Comprendre le comportement macroscopique d'un système physique décrit par un modèle probabiliste donnant les interactions microscopiques entre les composants du système
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  La mécanique statistique a pour but de comprendre le comportement macroscopique d'un système physique décrit par un modèle probabiliste donnant les interactions microscopiques entre les composants du système. De nombreux modèles entrent dans ce cadre, tels le modèle d’Ising (phénomène de magnétisation), la percolation (écoulement d’un liquide dans un solide poreux), le modèle de dimères (répartition de molécules diatomiques à la surface d’un cristal), les modèles de particules avec contraintes cinétiques (verres, matériaux granulaires). Ce sujet touche à de nombreux domaines des mathématiques : les probabilités de par la nature même des modèles, la théorie des graphes car les modèles sont souvent définis sur des réseaux, la combinatoire, et parfois même à la géométrie algébrique.
  
  L’objectif de ce cours est de donner une introduction à ce vaste sujet. En particulier, nous montrerons l’existence d’une transition de phase pour la percolation, puis nous étudierons de manière détaillée le modèle de dimères avec comme objectif d’établir le diagramme de phases. Dans une deuxième partie, nous introduirons le modèle d'Ising et sa version stochastique. Ca sera l'occasion pour introduire les systèmes de particules en interaction, une vaste classe de modèles largement utilisés pour modéliser aussi bien des phénomènes issus de la physique que d'autres disciplines telles que la biologie (diffusion d'infections) et les science sociales (dynamique d'opinions).

  Enseignant responsable :

  • CRISTINA TONINELLI

Cours spécialisés - choisir quatre cours minimum parmi

• Contrôle stochastique

  Contrôle stochastique

  Ects : 6
  Volume horaire : 18
  Compétence à acquérir :
  Les EDP et les problèmes de contrôle stochastique apparaissent naturellement en contrôle des risques, évaluation d’option, calibration, gestion de portefeuille, liquidation optimale d’ordre... L’objectif de ce cours est d’étudier les techniques fines associées et notamment de présenter en profondeur la notion de solution de viscosité qui s’est imposée ces dernières années.
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  1. Espérances conditionnelles et EDP linéaires paraboliques
  2. Formulation de problèmes de contrôle stochastique standards
  3. Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman
  4. Application à la gestion de portefeuille, aux problèmes d’arrêt optimal et de switching.

  Enseignant responsable :

  • PIERRE CARDALIAGUET

• Variational and geodesic methods for image analysis

  Variational and geodesic methods for image analysis

  Ects : 6
  Volume horaire : 21
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  This course, after giving a short introduction to digital image processing, will present an overview of variational methods for Image segmentation. This will include deformable models, known as active contours, solved using finite differences, finite elements, level sets method, fast marching method. A large part of the course will be devoted to geodesic methods, where a contour is found as a shortest path between two points according to a relevant metric. This can be solved efficiently by fast marching methods for numerical solution of the Eikonal equation. We will present cases with metrics of different types (isotropic, anisotropic, Finsler) in different spaces. All the methods will be illustrated by various concrete applications, like in biomedical image applications.

  Enseignant responsable :

  • LAURENT COHEN

• Gravitation classique et mécanique céleste

  Gravitation classique et mécanique céleste

  Ects : 6
  Volume horaire : 30
  Compétence à acquérir :
  Le cours a pour but de fournir les outils de base qui permettront de mieux comprendre les interactions dynamiques dans les systèmes gravitationnels, avec un accent sur les systèmes planétaires, et en particulier les systèmes planétaires extra solaires. Le cours vise aussi à présenter les outils les plus efficaces pour la mise en forme analytique et numérique des problèmes généraux des systèmes dynamiques conservatifs.
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  La mécanique céleste est plus vivante que jamais. Après un renouveau résultant de la conquête spatiale et de la nécessité des calculs des trajectoires des engins spatiaux, un deuxième souffle est apparu avec l’étude des phénomènes chaotiques. Cette dynamique complexe permet des variations importantes des orbites des corps célestes, avec des conséquences physiques importantes qu’il faut prendre en compte dans la formation et l’évolution du système solaire. Avec la découverte des planètes extra solaires, la mécanique céleste prend un nouvel essor, car des configurations qui pouvaient paraître académiques auparavant s’observent maintenant, tellement la diversité des systèmes observés est grande. La mécanique céleste apparaît aussi comme un élément essentiel permettant la découverte et la caractérisation des systèmes planétaires qui ne sont le plus souvent observés que de manière indirecte.
  
  Thèmes abordés :
  
  Le problème des deux corps. Aperçu de quelques intégrales premières, réduction du nombre de degrés de liberté, trajectoire, évolution temporelle. Développements classiques du problème des deux corps.
  Introduction à la mécanique analytique. Principe de moindre action, Lagrangien, Hamiltonien.
  Équations canoniques. Crochets de Poisson, intégrales premières, transformations canoniques.
  Propriétés des systèmes Hamiltoniens. Systèmes intégrables. Flot d’un système Hamiltonien.
  Intégrateurs numériques symplectiques.
  Systèmes proches d’intégrable. Perturbations. Série de Lie.
  Développement du potentiel en polynômes de Legendre.
  Évolution à long terme d’un système planétaire hiérarchique, mécanisme de Lidov- Kozai. Application aux exoplanètes.
  Mouvements chaotiques.
  Exposants de Lyapounov. Analyse en fréquence.

• Théorie des jeux à champ moyen

  Théorie des jeux à champ moyen

  Ects : 6
  Volume horaire : 18
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Les jeux de champ moyen sont une théorie nouvelle développée par Jean-Michel Lasry et Pierre-Louis Lions qui traduit la limite quand le nombre de joueurs tend vers l’infini dans des jeux différentiels stochastiques. Cela donne lieu à un système nouveau d’équations aux dérivées partielles couplant une équation d’Hamilton-Jacobi (backward) à une équation de Fokker-Planck (forward). Nous présenterons dans ce cours quelques résultats d’existence, d’unicité et les connections avec le contrôle optimal, le transport de masse et certaines équations aux dérivées partielles posées sur l’espace des mesures de probabilité.

  Enseignant responsable :

  • PIERRE CARDALIAGUET

• Méthodes de Monte-Carlo et méthodes déterministes pour les équations paraboliques

  Méthodes de Monte-Carlo et méthodes déterministes pour les équations paraboliques

  Ects : 6
  Volume horaire : 30
  Compétence à acquérir :
  Ce cours présente en profondeur les principales techniques d’évaluation d’options par technique de Monte-Carlo, ainsi que les méthodes de différences finies pour les équations paraboliques.
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  • Généralités sur les méthodes de Monte-Carlo
  1. Généralités sur la convergence des estimateurs des moments
  2. Générateurs de loi uniforme
  3. Simulation d’autres lois (méthode de rejet, transformation ….)
  4. Suites à discrépance faible
  
  • Méthodes de réduction de variance
  1. Contrôle antithétique
  2. Variable de contrôle
  3. Importance sampling
  
  • Simulation de processus et discrétisation de payoff
  1. Modèle de Black-Scholes
  2. Discrétisation d’EDS
  3. Ponts de diffusions et applications aux options asiatiques, à barrière et lookback.
  
  • Calcul des sensibilités (grèques)
  1. Approches par différences finies
  2. Grèques dans le modèle de Black-Scholes
  3. Processus tangent et grèques
  4. Calcul de Malliavin et grèques
  
  • Calcul d’espérances conditionnelles et évaluation d’options américaines
  1. Approche par Monte Carlo emboités
  2. Méthodes de régression (Tsitsiklis Van Roy, Longstaff Schwartz)
  3. Dualité de Rogers
  
  • Méthodes des différences finies : le cas linéaire
  1. Construction des schémas classiques (explicite, implicite, theta-schéma)
  2. Conditions de stabilité et de convergence
  
  • Méthodes des différences finies : le cas non-linéaire
  1. Schémas monotones : Conditions générales de stabilité et de convergence
  2. Exemples de schémas : problèmes variationnels, équations d’Hamilton-Jacobi-Bellman.

  Enseignant responsable :

  • JULIEN CLAISSE

• Processus à sauts

  Processus à sauts

  Ects : 6
  Volume horaire : 18
  Compétence à acquérir :
  Ce cours vise à maîtriser les techniques d’analyse et de calcul stochastique propres aux processus à sauts. Il vient en complément du cours « Calcul stochastique » qui se limite aux processus à trajectoires continues.
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Processus de Poisson, processus de Poisson composés,
  Distributions infiniment divisibles,
  Mesures aléatoires de Poisson,
  Processus de Lévy,
  Décomposition de Lévy-Khintchine,
  Formule d'Itô pour les processus de Lévy,
  Équations différentielles stochastiques dirigées par un processus de Lévy,
  Equivalence des mesures, exponentielle de Doleans-Dade, théorème de Girsanov
  Modèle de Merton
  Processus de Hawkes

  Enseignant responsable :

  • JULIEN POISAT

• Grandes déviations et applications

  Grandes déviations et applications

  Ects : 6
  Volume horaire : 21
  Compétence à acquérir :
  Large deviations are at the center of modern probability and statistics.
  The theory originated form the risk analysis for insurance companies.
  Today there are applications in almost all domains of applied mathematics.
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  - Generalities on large deviations: Cramer Theorem and Varadhan’s lemma. Variational principles.
  - Local large deviations, applications in statistical mechanics (equivalence of ensembles).
  - Connection with the viscous solutions in Hamilton-Jacobi equatio

  Enseignant responsable :

  • STEFANO OLLA

• Optimisation continue

  Optimisation continue

  Ects : 6
  Volume horaire : 24
  Compétence à acquérir :
  Fournir les fondements de l'optimisation continue moderne : concepts théoriques, algorithmes et applications.
  Pré-requis obligatoires :
  Cours de base :
  
  Analyse non linéaire
  Optimisation
  Approximation de fonctions
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Thèmes abordés :
  
  Analyse convexe (ensembles convexes, cônes convexes, fonctions convexes, conjugaison, sous-différentiabilité), problèmes variationnels (existence, unicité et caractérisation des solutions, conditions de KKT, condition du second ordre), dualité de Fenchel-Rockafellar, dualité lagrangienne, problèmes min-max, perturbations, opérateurs monotone, itérations fejériennes, algorithmes de points fixes et de zéro d'opérateurs monotones, applications aux inéquations variationnelles et à la décomposition de problèmes de minimisation sous contraintes, optimisation differentiable sous contraintes générales, conditions du premier et second ordre en optimisation non convexe differentiable.

  Enseignant responsable :

  • ANTONIN CHAMBOLLE

• Chaire Equation aux dérivées partielles

  Chaire Equation aux dérivées partielles

  Volume horaire : 20
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Le cours aura lieu probablement le vendredi matin au Collège de France
  Pour plus d'information consulter le site : https://www.college-de-france.fr/site/en-pierre-louis-lions/_course.htm

  Enseignant responsable :

  • PIERRE-LOUIS LIONS

• Convexité cachée en analyse non-linéaire

  Convexité cachée en analyse non-linéaire

  Ects : 6
  Volume horaire : 30
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Les méthodes d'analyse convexe sont simples, puissantes et robustes mais paraissent souvent d'utilisation limitée. L'objet du cours est d'étudier des exemples significatifs où une structure convexe est dissimulée qui, une fois dévoilée, ouvre la voie à des résultats d'existence et d'unicité globales inattendues.
  On discutera notamment les équations de Monge-Ampère (qui interviennent en géométrie), celles d'Euler (en mécanique des fluides) et de Born-Infeld (en électromagnétisme et physique des hautes énergies).

  Enseignant responsable :

  • Yann BRENIER

• équations de réaction-diffusion et dynamiques des populations biologiques

  équations de réaction-diffusion et dynamiques des populations biologiques

  Ects : 6
  Volume horaire : 26
  Compétence à acquérir :
  Des phénomènes observés dans des contextes très variés sont représentés par des équations de type réaction-diffusion : dynamique des populations, écologie, épidémiologie, invasions biologiques, comportements collectifs, diffusion d’opinions ou de normes sociales. Ce cours développera des méthodes mathématiques pour analyser ce type d’équations. Elles seront ensuite mises en œuvre pour établir les principales propriétés de ces équations.
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Une première partie sera consacrée aux propriétés fondamentales des équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques linéaires et non linéaires. On étudiera ensuite les états stationnaires de ces équations, les propriétés dynamiques et l’existence de solutions de type ondes progressives. On s’attachera en particulier à en déterminer les vitesses et les formes ainsi que les propriétés qualitatives.
  
  La seconde partie du cours décrira quelques modèles de dynamique des populations pour la biologie et différentes applications. Dans le cadre de ces modèles, on analysera les effets des environnements hétérogènes sur la persistance des espèces et la forme des invasions biologiques en fonction de l’environnement. On développera aussi des modèles permettant de décrire les effets de changements climatiques sur la persistance et la distribution de certaines espèces biologiques.
  
  Enseignant : (H. Berestycki & G. Nadin, cours du M2 Math. Model.)

  Enseignant responsable :

  • Gregoire NADIN

• Théorie spectrale et méthodes variationnelles

  Théorie spectrale et méthodes variationnelles

  Ects : 6
  Volume horaire : 20
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Ce cours sera enseigné à l'UPMC.
  
  
  Éléments de théorie spectrale, le Laplacien sur un ouvert borné
  
  Modèles à N corps
  
  Modèle Hartree-Fock
  
  Problème concernant la caractérisation de Weyl des éléments du spectre
  
  Problème sur les valeurs propres du Laplacien de Robin
  La méthode de
  concentration-compacité

  Enseignant responsable :

  • Eric CANCES
  • MATHIEU LEWIN

• Contrôle non linéaire basé sur la planéité

  Contrôle non linéaire basé sur la planéité

  Ects : 6
  Volume horaire : 30
  Compétence à acquérir :
  This course is an introduction to the basics of nonlinear systems theory and control design, with a particular focus on combinations of motion planning and reference trajectory tracking. Solutions of these two problems are dramatically simplified in the class of differentially flat systems. This latter class is introduced in an elementary way, with many examples, and studied in the framework of the differential geometry of jets of infinite order.
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  - A brief introduction to differential geometry and dynamical systems
  - Control systems, controllability
  - System equivalence and differential flatness
  - Applications to motion planning
  - Applications to stable trajectory tracking.

• Temps de mélange & chaines de Markov

  Temps de mélange & chaines de Markov

  Ects : 6
  Volume horaire : 24
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Combien de fois faut-il battre un paquet de 52 cartes pour que la permutation aléatoire obtenue soit à peu près uniformément distribuée ? Ce cours est une introduction sans pré-requis à la théorie moderne des temps de mélange des chaînes de Markov. Un interêt particulier sera porté au célèbre phénomène de "cutoff", qui est une transition de phase remarquable dans la convergence de certaines chaînes vers leur distribution stationnaire. Parmi les outils abordés figureront les techniques de couplage, l'analyse spectrale, le profil isopérimétrique, ou les inégalités fonctionnelles de type Poincaré. En guise d'illustration, ces méthodes seront appliquées à divers exemples classiques issus de contextes variés: mélange de cartes, marches aléatoires sur les groupes, systèmes de particules en intéraction, algorithmes de Metropolis-Hastings, etc. Une place importante sera accordée aux marches sur graphes et réseaux, qui sont aujourd'hui au coeur des algorithmes d'exploration d'Internet et sont massivement utilisées pour la collecte de données et la hiérarchisation des pages par les moteurs de recherche.
   

  Bibliographie, lectures recommandées
  Notes de cours, examen 2019 et correction (J. Salez)
  Markov Chains and Mixing Times (D. Levin, Y. Peres & E. Wilmer)
  Mathematical Aspects of Mixing Times in Markov Chains (R. Montenegro & P. Tetali)
  Mixing Times of Markov Chains: Techniques and Examples (N. Berestycki)
  Reversible Markov Chains and Random Walks on Graphs (D. Aldous & J. Fill)
  

  Enseignant responsable :

  • JUSTIN SALEZ

• Géométrie algébrique réelle

  Géométrie algébrique réelle

  Ects : 6
  Volume horaire : 20
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Une variété algébrique réelle est le lieu des zéros d’une famille d’équations polynomiales à coefficients réels. Si elle est non singulière, l’ensemble des solutions complexes (resp. réelles) de ces équations est une variété algébrique complexe lisse (resp. une variété différentielle).
  Le thème principal du cours sera l’interaction entre la géométrie de lapremière et la topologie de la seconde. On abordera notamment le théorème de Nash–Tognoli : toute variété différentielle compacte est l’ensemble des points réels d’une variété algébrique réelle. On étudiera également
  la géométrie et la topologie des sous-variétés des variétés algébriques réelles.

• Chaire Sciences des données

  Chaire Sciences des données

  Ects : 6
  Volume horaire : 20
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Le cours aura lieu probablement le mercredi matin au Collège de France au second semestre
  Pour plus d'information consulter le site : https://www.college-de-france.fr/site/stephane-mallat/_course.htm
  La validation se fera sur projet, en travaillant sur l'un des challenge proposés sur le site : https://challengedata.ens.fr/en/home

• Chaire géométrie algébrique

  Chaire géométrie algébrique

  Ects : 6
  Volume horaire : 20
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Pour plus d'information consulter le site : https://www.college-de-france.fr/site/en-claire-voisin/_course.htm
  La validation se fera sur présentation d'un exposé
  
  Enseignant : Claire Voisin

• Régularité en théorie cinétique collisionnelle, résultats anciens et nouveaux

  Régularité en théorie cinétique collisionnelle, résultats anciens et nouveaux

  Ects : 6
  Volume horaire : 20
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  I - Théorie homogène en espace.
  1. Théories classiques de Carleman et Arkeryd,
  2. Propagation des singularités et la régularité pour les intéractions à courte portée,
  3. Théorie parabolique pour les interactions à longue portée modérément singulières ;
  Questions ouvertes et perspective sur les interactions à longue portée très singulières.
  
  II - Théorie perturbative (environ 8h)
  1. Théorie classique de Hilbert, Grad et Ukai (solutions perturbatives globales pour les sphères dures, sans conditions de bord),
  2. La question de la décroissance aux grandes vitesses (factorisation du semi-groupe et élargissement de l'espace),
  3. Propagation des singularités et de la régularité pour les interactions à courte portée (sans condition de bord),
  4. Solutions perturbatives dans un domaine borné,
  5. Questions ouvertes et perspectives sur la régularité du "billard statistique" et des solutions perturbatives en domaine borné.
  
  III - Théorie conditionnelle
  1. Propagation conditionnelle de la régularité pour les intéractions à courte portée,
  2. La conjecture de régularité conditionnelle pour les interactions à longue portée,
  3. Extension de la théorie de De Giorgi-Nash-Moser aux équations hypoelliptiques,
  4. Principes du maximum non linéaires et bornes ponctuelles de décroissances,
  5. Estimations de Schauder hypoelliptiques,
  6. Résolution de la conjecture dans le cas d'interactions modérément singulières,
  7. Questions ouvertes et perspectives dans le cas très singulier.

  Enseignant responsable :

  • CLEMENT MOUHOT

• Introduction à la topologie symplectique

  Introduction à la topologie symplectique

  Ects : 6
  Volume horaire : 20
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  La topologie symplectique étudie les propriétés topologiques des objets de la géométrie symplectique: variétés symplectiques et de contact, sous-variétés lagrangiennes, flots Hamiltoniens. Elle a des relations avec les systèmes dynamiques, géométrie algébrique réelle ou complexe.
  La topologie symplectique s'est développée de manière spectaculaire dans les 35 dernières années et un trimestre lui est consacré à l'IHP d'avril à juillet 2021.
  Ce cours constitue en une introduction aux résultats de base de la topologie symplectique par la méthode des fonctions génératrices ce qui permet d'introduire rapidement les capacités symplectiques et leurs applications.
  Dans une seconde partie du cours, on montrera comment le point de vue de la théorie des faisceaux de Kashiwara et Shapira permet de généraliser ces méthodes dans un cadre plus général et faire le lien avec la théorie de Floer.

• Déformations de groupes discrets dans les groupes de Lie

  Déformations de groupes discrets dans les groupes de Lie

  Ects : 6
  Volume horaire : 20
  Compétence à acquérir :
  Ce cours se veut une introduction progressive à la théorie des représentations Anosov, développée durant les quinze dernières années. Cette introduction sera guidée par les questions suivantes :
  - Quand un sous-groupe discret G d’un groupe de Lie G peut-il être déformé ? (i.e. quand existe-t-il une famille à un paramètre non triviale de morphismes ?t : G ? G telle que ?0 est l’inclusion ?)
  - Lorsque de telles déformations existent, quelles propriétés dynamiques et géométriques du groupe discret préservent-elles ?
  
  Dans un premier temps, afin d’illustrer les phénomènes de rigidité fréquents dans ce contexte, nous démontrerons le théorème de rigidité locale des réseaux (théorème de Calabi—Weil) et nous énoncerons les autres grands théorèmes de rigidité (Mostow, Margulis…).
  
  En regard de ces résultats de rigidité, nous présenterons ensuite de nombreux exemples explicites de déformations de groupes discrets. Nous décrirons en particulier certains aspects des variétés de caractères des groupes de surfaces, qui font l’objet d’une recherche active.
  
  Enfin, nous nous intéresserons aux propriétés géométriques et dynamiques des groupes discrets qui sont préservées par déformation. Nous introduirons alors la notion de morphisme Anosov, qui fournit un cadre unifié à l’étude de nombreuses déformations d’origine géométrique (représentations quasi- fuchsiennes, convexes divisibles, variétés anti-de Sitter globalement hyperboliques).
  
  Les thématiques abordées dans ce cours sont proches de celles du cours « Variété des caractères et structures hyperboliques en dimension 3 » du Master de Paris 6. Bien qu’indépendant, ce cours gagnera à être suivi après celui d’Antonin Guilloux.
  
  Enseignant : N. Tholozan
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Ce cours portera sur l’étude des sous-groupes discrets de SL(n;R) ou SL(n;C) (et plus généralement d’un groupe de Lie semisimple). Nous nous intéresserons plus particulièrement aux propriétés d’ “hyperbolicité” de certains de ces groupes.
  Pour cela, nous commencerons par introduire la notion de groupe hyperbolique au sens de Gromov.
  Nous présenterons les premières propriétés de cette notion (compactification équivariante, invariance par quasi-isométrie...). Parmi ces groupes, certains se réalisent comme groupes discrets d’isométries de l’espace hyperbolique. Ce sont les sous-groupes convexes cocompacts de SL(2;C). Nous en décrirons quelques exemples.
  Nous introduirons ensuite la notion sous-groupe Anosov qui généralise au rang supérieur celle de sous-groupe cocompact. Nous présenterons les premières propriétés dynmaiques et géométriques de ces groupes, et les nombreux exemples que cette notion englobe.

Mémoire

• Mémoire de recherche

  Mémoire de recherche

  Ects : 24