Mathématiques Appliquées et Théoriques - 2ème année de Master

UE Introductifs

• A review of functional analysis tools for PDEs

  A review of functional analysis tools for PDEs

  Enseignant responsable :
  DAVID GONTIER
  

  Volume horaire : 15

  Description du contenu de l'enseignement :
  - Lp spaces, Sobolev spaces ;
  - Distributions, Fourier transform, Laplace, heat and Schrödinger equations in the whole space ;
  - Self-adjoint compact operators ;
  - Laplace and Poisson equations in a domain.
• A review of numerical methods for PDEs

  A review of numerical methods for PDEs

  Enseignant responsable :
  GUILLAUME LEGENDRE
  

  Volume horaire : 15

  Description du contenu de l'enseignement :
  Review of classical numerical methods for PDEs
  Tests and Applications with Matlab

  Compétences à acquérir :
  Basic notions on numerical methods for the approximation of PDE solutions
  

  Bibliographie-lectures recommandées
  R. J. LEVEQUE. Numerical methods for conservation laws, Lectures in Mathematics. ETH Zürich. Birkhäuser,
  second edition, 1992.
  J. C. STRIKWERDA. Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM, second edition, 2004. DOI:
  10.1137/1.9780898717938.
  

Cours de base - choisir 2 cours minimum parmi :

• Introduction to non linear PDEs

  Introduction to non linear PDEs

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  ERIC SERE
  

  Volume horaire : 30

  Description du contenu de l'enseignement :
  Existence of weak solutions of linear and nonlinear elliptic PDEs by variational methods.
  Regularity of weak solutions to linear and nonlinear elliptic PDEs.
  Maximum principles and applications.
  Fixed point theorems applied to nonlinear elliptic PDEs.
  Bifurcation theory applied to nonlinear elliptic PDEs.

  Compétences à acquérir :
  Existence of weak solutions of linear and nonlinear elliptic PDEs by variational methods.
  Regularity of weak solutions to linear and nonlinear elliptic PDEs.
  Maximum principles and applications.
  Fixed point theorems applied to nonlinear elliptic PDEs.
  Bifurcation theory applied to nonlinear elliptic PDEs.
  

  Bibliographie-lectures recommandées
  L.C. Evans, Partial Differential equations (Graduate Studies in Mathematics 19, AMS).
  L. Nirenberg, Topics in Nonlinear Functional Analysis (Courant Lecture Notes Series 6, AMS).
  

• Introduction to evolution PDEs

  Introduction to evolution PDEs

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  STEPHANE MISCHLER
  

  Compétences à acquérir :
  In a first part, we will present several results about the well-posedness issue for evolution PDE.
  - Parabolic equation. Existence of solutions for parabolic equations by the mean of the variational approach and the existence theorem of J.-L. Lions.
  - Transport equation. Existence of solutions by the mean of the characterics method and renormalization theory of DiPerna-Lions. Uniqueness of solutions thanks to Gronwall argument and duality argument.
  - Evolution equation and semigroup. Linear evolution equation, semigroup and generator. Duhamel formula and mild solution. Duality argument and the well-posedness issue. Semigroup Hille-Yosida-Lumer-Phillips’ existence theory.
  
  In a second part, we will mainly consider the long term asymptotic issue.
  - More about the heat equation. Smoothing effect thanks to Nash argument. Rescaled (self-similar) variables and Fokker-Planck equation. Poincaré inequality and long time asymptotic (with rate) in L2 Fisher information, log Sobolev inequality and long time convergence to the equilibrium (with rate) in L1.
  - Entropy and applications. Dynamical system, equilibrium and entropy methods. Self-adjoint operator with compact resolvent. A Krein-Rutman theorem for conservative operator. Relative entropy for linear and positive PDE. Application to a general Fokker-Planck equation. Weighted L2 inequality for the scattering equation. 
  - Markov semigroups and the Harris-Meyn-Tweedie theory.
  
  In a last part, we will investigate how the different tools we have introduced before can be useful when considering a nonlinear evolution problem.
  - The parabolic-elliptic Keller-Segel equation. Existence, mass conservation and blow up. Uniqueness. Self-similarity and long time behavior.
  

• Systèmes dynamiques hamiltoniens

  Systèmes dynamiques hamiltoniens

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  JACQUES FEJOZ
  

  Volume horaire : 30

  Description du contenu de l'enseignement :
  1. Reminder on differential equations
  2. Hamiltonian systems on R2n
  3. Smooth manifolds, tangent and cotangent bundles
  4. Differential forms
  5. Symplectic manifolds
  6. Hamiltonian systems on symplectic manifolds
  7. Integrability of Hamiltonian systems
  8. Hamiltonian perturbation theory
  9. The KAM theorem
  10. The Nekhoroshev theorem

  Bibliographie-lectures recommandées
  V.I. Arnold, Geometric methods in the theory or ordinary differential equations
  V.I. Arnold, Mathematical methods in classical mechanics
  J.M. Lee, Introduction to smooth manifolds
  D. McDuff and D. Salamon, Introduction to symplectic topology
  A. Cannas da Silva, Lectures on symplectic geometry
  G. Benettin, The elements of Hamiltonian perturbation theory
  

• Stochastic Calculus

  Stochastic Calculus

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  JUSTIN SALEZ
  

  Volume horaire : 24

  Description du contenu de l'enseignement :
  

  • Probability basics
  • Stochastic processes, Brownian motion, continuous semi-martingales
  • Stochastic integral, Itô’s formula for semi-martingales and Girsanov’s theorem
  • Stochastic differential equations, diffusion processes
  • Feynman-Kac formula and link with the heat equation
  • Probabilistic representation of the Dirichlet problem.

  Compétences à acquérir :
  The first part of the course presents stochastic calculus for continuous semi-martingales. The second part of the course is devoted to Brownian stochastic differential equations and their links with partial differential equations. This course is naturally followed by the course “Jump processes”.
  

• Numerical methods for PDE and control

  Numerical methods for PDE and control

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  JULIEN SALOMON
  

  Volume horaire : 30

  Description du contenu de l'enseignement :
  Ce cours est composé de 5 chapitres. Chacun des chapitres est associé à une séance de travail sur machine (TP, en Matlab/GNU Octave et Free Fem).
  
  Optimisation numérique et équations aux dérivées partielles
  Méthodes numériques pour le contrôle optimal
  Traitement numérique des inégalités variationnelles
  Introduction à la méthode des éléments finis
  Introduction aux méthodes de réduction
  
  English version :
  
  This course is composed of 5 chapters :
  Numerical optimization and partial differential equations
  Numerical methods for optimal control
  Numerical treatment of variational inequalities
  Introduction to the finite element method
  Introduction to reduction methods
  Each chapter is associated with a working session on the machine (TP, in Matlab/GNU Octave and Free Fem).
• Introduction to statistical mechanics

  Introduction to statistical mechanics

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  CRISTINA TONINELLI
  

  Volume horaire : 30

  Description du contenu de l'enseignement :
  The aim of statistical mechanics is to understand the macroscopic behavior of a physical system by using a probabilistic model containing the information for the microscopic interactions. The goal of this course is to give an introduction to this broad subject, which lies at the intersection of many areas of mathematics: probability, graph theory, combinatorics, algebraic geometry…
  
  In the first part of the course we will introduce the key notions of equilibrium statistical mechanics. In particular we will study the phase diagram of the following models: Ising model (ferromagnetism), dimer models (crystal surfaces) and percolation (flow of liquids in porous materials). In the second part we will introduce interacting particle systems, a large class of Markov processes used to model dynamical phenomena arising in physics (e.g. the kinetically constrained models for glasses) as well as in other disciplines such as biology (e.g. the contact model for the spread of infections) and social sciences (e.g. the voter model for the dynamics of opinions).

  Compétences à acquérir :
  Comprendre le comportement macroscopique d'un système physique décrit par un modèle probabiliste donnant les interactions microscopiques entre les composants du système
  

Cours spécialisés - choisir quatre cours minimum parmi

• Stochastic Control

  Stochastic Control

  Ects : 6
  

  Volume horaire : 18

  Description du contenu de l'enseignement :
  Relationship between conditional expectations and parabolic linear PDEs.
  Formulation of standard stochastic control problems: dynamic programming principle.
  Hamilton-Jacobi-Bellman equation
  Verification approach
  Viscosity solutions (definitions, existence, comparison)
  Application to portfolio management, optimal shutdown and switching problems
  
  Enseignant : Bruno BOUCHARD

  Compétences à acquérir :
  PDEs and stochastic control problems naturally arise in risk control, option pricing, calibration, portfolio management, optimal book liquidation, etc. The aim of this course is to study the associated techniques, in particular to present the notion of viscosity solutions for PDEs.
  

• Variational and geodesic methods for image analysis

  Variational and geodesic methods for image analysis

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  LAURENT COHEN
  

  Volume horaire : 21

  Description du contenu de l'enseignement :
  This course, after giving a short introduction to digital image processing, will present an overview of variational methods for Image segmentation. This will include deformable models, known as active contours, solved using finite differences, finite elements, level sets method, fast marching method. A large part of the course will be devoted to geodesic methods, where a contour is found as a shortest path between two points according to a relevant metric. This can be solved efficiently by fast marching methods for numerical solution of the Eikonal equation. We will present cases with metrics of different types (isotropic, anisotropic, Finsler) in different spaces. All the methods will be illustrated by various concrete applications, like in biomedical image applications.
• Gravitation classique et mécanique céleste

  Gravitation classique et mécanique céleste

  Ects : 6
  

  Volume horaire : 30

  Description du contenu de l'enseignement :
  La mécanique céleste est plus vivante que jamais. Après un renouveau résultant de la conquête spatiale et de la nécessité des calculs des trajectoires des engins spatiaux, un deuxième souffle est apparu avec l’étude des phénomènes chaotiques. Cette dynamique complexe permet des variations importantes des orbites des corps célestes, avec des conséquences physiques importantes qu’il faut prendre en compte dans la formation et l’évolution du système solaire. Avec la découverte des planètes extra solaires, la mécanique céleste prend un nouvel essor, car des configurations qui pouvaient paraître académiques auparavant s’observent maintenant, tellement la diversité des systèmes observés est grande. La mécanique céleste apparaît aussi comme un élément essentiel permettant la découverte et la caractérisation des systèmes planétaires qui ne sont le plus souvent observés que de manière indirecte.
  
  Thèmes abordés :
  

  • Le problème des deux corps. Aperçu de quelques intégrales premières, réduction du nombre de degrés de liberté, trajectoire, évolution temporelle. Développements classiques du problème des deux corps.
  • Introduction à la mécanique analytique. Principe de moindre action, Lagrangien, Hamiltonien.
  • Équations canoniques. Crochets de Poisson, intégrales premières, transformations canoniques.
  • Propriétés des systèmes Hamiltoniens. Systèmes intégrables. Flot d’un système Hamiltonien.
  • Intégrateurs numériques symplectiques.
  • Systèmes proches d’intégrable. Perturbations. Série de Lie.
  • Développement du potentiel en polynômes de Legendre.
  • Évolution à long terme d’un système planétaire hiérarchique, mécanisme de Lidov- Kozai. Application aux exoplanètes.
  • Mouvements chaotiques.
  • Exposants de Lyapounov. Analyse en fréquence.

  Compétences à acquérir :
  Le cours a pour but de fournir les outils de base qui permettront de mieux comprendre les interactions dynamiques dans les systèmes gravitationnels, avec un accent sur les systèmes planétaires, et en particulier les systèmes planétaires extra solaires. Le cours vise aussi à présenter les outils les plus efficaces pour la mise en forme analytique et numérique des problèmes généraux des systèmes dynamiques conservatifs.
  

• Mean field games

  Mean field games

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  PIERRE CARDALIAGUET
  

  Volume horaire : 18

  Description du contenu de l'enseignement :
  Mean field games is a new theory developed by Jean-Michel Lasry and Pierre-Louis Lions that translates the limit when the number of players tends towards infinity in stochastic differential games. This gives rise to new systems of partial differential equations coupling a Hamilton-Jacobi equation (backward) to a Fokker-Planck equation (forward). We will present in this course some results of existence, uniqueness and the connections with optimal control, mass transport and the notion of partial differential equations on the space of probability measures.

  Compétences à acquérir :
  Mastering of the mean field games technics.
  

• Monte-Carlo Methods

  Monte-Carlo Methods

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  JULIEN CLAISSE
  

  Volume horaire : 30

  Description du contenu de l'enseignement :
  Generalities on Monte-Carlo methods
  1. Generalities on the convergence of moment estimators
  2. Generators of uniform law
  3. Simulation of other laws (rejection method, transformation, …)
  4. Low discrepancy sequences
  
  Variance reduction
  1. Antithetical control
  2. Payoff regularization
  3. Control Variable
  4. Importance sampling
  
  Process simulation and payoff discretization
  1. Black-Scholes model
  2. Discretisation of SDEs
  3. Diffusion’s bridges and applications to Asian, barrier and lookback options.
  
  Calculation of sensitivities (greeks)
  1. Finite differences
  2. Greeks in the Black-Scholes model
  3. Tangent process and Greeks
  4. Malliavin calculus, Greeks, conditional expectations and pricing of American options
  
  Calculation of conditional expectations and valuation of American options.
  1. Nested Monte Carlo approach
  2. Regression Methods (Tsitsiklis Van Roy, Longstaff Schwartz)
  3. Rogers’ Duality
  
  Finite difference methods: the linear case
  1. Construction of classical schemes (explicit, implicit, theta-scheme)
  2. Conditions for stability and convergence
  
  Finite difference methods: the non-linear case
  1. Monotonous schemes: General conditions of stability and convergence
  2. Examples of numerical schemes: variational problems, Hamilton-Jacobi-Bellman equations.

  Compétences à acquérir :
  This course provides an in-depth presentation of the main techniques for the evaluating of options using Monte Carlo techniques.
  

• Jump processes

  Jump processes

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  JULIEN POISAT
  

  Volume horaire : 18

  Description du contenu de l'enseignement :
  Poisson process, compound Poisson process,
  Infinitely divisible distributions,
  Random measures of Poisson,
  Lévy process,
  Decomposition of Lévy-Khintchine,
  Itô's formula for Lévy processes,
  Stochastic differential equations driven by a Lévy process,
  Equivalence of measures, Doleans-Dade exponential, Girsanov's theorem
  Merton’s Model
  Hawkes' Process

  Compétences à acquérir :
  This course aims to master the techniques of analysis and stochastic calculation specific to jump processes. It complements the "Stochastic Calculation" course which is limited to processes with continuous paths.
  

• Large deviation and application in Physics and Analysis

  Large deviation and application in Physics and Analysis

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  STEFANO OLLA
  

  Volume horaire : 21

  Description du contenu de l'enseignement :
  This course will revise various generalizations of Cramer and Sanov Theorems and will illustrate applications to Statistical Physics and Analysis, in particular :
  - Statistical Physics: Gibbs probability distributions for mean field models (Curie-Weiss) and for models with local interaction (Ising Model). Local Large deviations and equivalence on ensembles.
  - Non-linear PDE: Viscous solutions in Hamilton-Jacobi equations.
  
  Random perturbations of dynamical systems: Freidlin–Wentzell theory.

  Compétences à acquérir :
  Large deviations are at the center of modern probability and statistics. The theory originated form the risk analysis for insurance companies. Today there are applications in almost all domains of applied mathematics.
  

• Optimisation continue

  Optimisation continue

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  ANTONIN CHAMBOLLE
  

  Volume horaire : 24

  Description du contenu de l'enseignement :
  Thèmes abordés :
  
  Analyse convexe (ensembles convexes, cônes convexes, fonctions convexes, conjugaison, sous-différentiabilité), problèmes variationnels (existence, unicité et caractérisation des solutions, conditions de KKT, condition du second ordre), dualité de Fenchel-Rockafellar, dualité lagrangienne, problèmes min-max, perturbations, opérateurs monotone, itérations fejériennes, algorithmes de points fixes et de zéro d'opérateurs monotones, applications aux inéquations variationnelles et à la décomposition de problèmes de minimisation sous contraintes, optimisation differentiable sous contraintes générales, conditions du premier et second ordre en optimisation non convexe differentiable.

  Pré-requis obligatoire :
  Cours de base :
  

  • Analyse non linéaire
  • Optimisation
  • Approximation de fonctions

  
  

  Compétences à acquérir :
  Fournir les fondements de l'optimisation continue moderne : concepts théoriques, algorithmes et applications.
  

• Chaire Equation aux dérivées partielles

  Chaire Equation aux dérivées partielles

  Enseignant responsable :
  PIERRE-LOUIS LIONS
  

  Volume horaire : 20

  Description du contenu de l'enseignement :
  Le cours aura lieu probablement le vendredi matin au Collège de France
  Pour plus d'information consulter le site : https://www.college-de-france.fr/site/en-pierre-louis-lions/_course.htm
• Convexité cachée en analyse non-linéaire

  Convexité cachée en analyse non-linéaire

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  Yann BRENIER
  

  Volume horaire : 30

  Description du contenu de l'enseignement :
  Les méthodes d'analyse convexe sont simples, puissantes et robustes mais paraissent souvent d'utilisation limitée. L'objet du cours est d'étudier des exemples significatifs où une structure convexe est dissimulée qui, une fois dévoilée, ouvre la voie à des résultats d'existence et d'unicité globales inattendues.
  On discutera notamment les équations de Monge-Ampère (qui interviennent en géométrie), celles d'Euler (en mécanique des fluides) et de Born-Infeld (en électromagnétisme et physique des hautes énergies).
• équations de réaction-diffusion et dynamiques des populations biologiques

  équations de réaction-diffusion et dynamiques des populations biologiques

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  Gregoire NADIN
  

  Volume horaire : 26

  Description du contenu de l'enseignement :
  Une première partie sera consacrée aux propriétés fondamentales des équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques linéaires et non linéaires. On étudiera ensuite les états stationnaires de ces équations, les propriétés dynamiques et l’existence de solutions de type ondes progressives. On s’attachera en particulier à en déterminer les vitesses et les formes ainsi que les propriétés qualitatives.
  
  La seconde partie du cours décrira quelques modèles de dynamique des populations pour la biologie et différentes applications. Dans le cadre de ces modèles, on analysera les effets des environnements hétérogènes sur la persistance des espèces et la forme des invasions biologiques en fonction de l’environnement. On développera aussi des modèles permettant de décrire les effets de changements climatiques sur la persistance et la distribution de certaines espèces biologiques.
  
  Enseignant : (H. Berestycki & G. Nadin, cours du M2 Math. Model.)

  Compétences à acquérir :
  Des phénomènes observés dans des contextes très variés sont représentés par des équations de type réaction-diffusion : dynamique des populations, écologie, épidémiologie, invasions biologiques, comportements collectifs, diffusion d’opinions ou de normes sociales. Ce cours développera des méthodes mathématiques pour analyser ce type d’équations. Elles seront ensuite mises en œuvre pour établir les principales propriétés de ces équations.
  

• Théorie spectrale et méthodes variationnelles

  Théorie spectrale et méthodes variationnelles

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  MATHIEU LEWIN
  Eric CANCES
  

  Volume horaire : 20

  Description du contenu de l'enseignement :
  La théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints a de nombreuses applications en mathématiques, notamment dans le domaine des équations
  aux dérivées partielles (EDP). Dans ce cours, nous présenterons les détails de cette théorie, que nous illustrerons par divers exemples
  intervenant dans la théorie et la simulation numérique des EDP (Laplaciens de Dirichlet et de Neumann par exemple).
  
  Dans une deuxième partie du cours, nous verrons que la combinaison de techniques spectrales et de méthodes variationnelles permet d'obtenir
  des résultats intéressants sur des problèmes elliptiques linéaires et non linéaires.
  
  Nous illustrerons cette approche sur des problèmes issus de la mécanique quantique, extrêmement utilisés dans les applications. Nous étudierons
  en particulier l’équation de Schrödinger à N corps et ses approximations de champ moyen donnant lieu à une équation de Schrödinger non linéaire, ainsi que les opérateurs de Schrödinger périodiques utilisés pour la modélisation des matériaux. Les éléments de base de la mécanique quantique seront présentés, mais aucune connaissance physique n'est requise pour suivre le cours.
• Contrôle non linéaire basé sur la planéité

  Contrôle non linéaire basé sur la planéité

  Ects : 6
  

  Volume horaire : 30

  Description du contenu de l'enseignement :
  - A brief introduction to differential geometry and dynamical systems
  - Control systems, controllability
  - System equivalence and differential flatness
  - Applications to motion planning
  - Applications to stable trajectory tracking.

  Compétences à acquérir :
  This course is an introduction to the basics of nonlinear systems theory and control design, with a particular focus on combinations of motion planning and reference trajectory tracking. Solutions of these two problems are dramatically simplified in the class of differentially flat systems. This latter class is introduced in an elementary way, with many examples, and studied in the framework of the differential geometry of jets of infinite order.
  

• Temps de mélange & chaines de Markov

  Temps de mélange & chaines de Markov

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  JUSTIN SALEZ
  

  Volume horaire : 24

  Description du contenu de l'enseignement :
  Combien de fois faut-il battre un paquet de 52 cartes pour que la permutation aléatoire obtenue soit à peu près uniformément distribuée ? Ce cours est une introduction sans pré-requis à la théorie moderne des temps de mélange des chaînes de Markov. Un interêt particulier sera porté au célèbre phénomène de "cutoff", qui est une transition de phase remarquable dans la convergence de certaines chaînes vers leur distribution stationnaire. Parmi les outils abordés figureront les techniques de couplage, l'analyse spectrale, le profil isopérimétrique, ou les inégalités fonctionnelles de type Poincaré. En guise d'illustration, ces méthodes seront appliquées à divers exemples classiques issus de contextes variés: mélange de cartes, marches aléatoires sur les groupes, systèmes de particules en intéraction, algorithmes de Metropolis-Hastings, etc. Une place importante sera accordée aux marches sur graphes et réseaux, qui sont aujourd'hui au coeur des algorithmes d'exploration d'Internet et sont massivement utilisées pour la collecte de données et la hiérarchisation des pages par les moteurs de recherche.
   

  Compétences à acquérir :
  Pour en savoir plus, cliquez sur ce
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  Bibliographie-lectures recommandées
  Notes de cours, examen 2019 et correction (J. Salez)
  Markov Chains and Mixing Times (D. Levin, Y. Peres & E. Wilmer)
  Mathematical Aspects of Mixing Times in Markov Chains (R. Montenegro & P. Tetali)
  Mixing Times of Markov Chains: Techniques and Examples (N. Berestycki)
  Reversible Markov Chains and Random Walks on Graphs (D. Aldous & J. Fill)
  

• Géométrie algébrique réelle

  Géométrie algébrique réelle

  Ects : 6
  

  Volume horaire : 20

  Description du contenu de l'enseignement :
  Une variété algébrique réelle est le lieu des zéros d’une famille d’équations polynomiales à coefficients réels. Si elle est non singulière, l’ensemble des solutions complexes (resp. réelles) de ces équations est une variété algébrique complexe lisse (resp. une variété différentielle).
  Le thème principal du cours sera l’interaction entre la géométrie de lapremière et la topologie de la seconde. On abordera notamment le théorème de Nash–Tognoli : toute variété différentielle compacte est l’ensemble des points réels d’une variété algébrique réelle. On étudiera également
  la géométrie et la topologie des sous-variétés des variétés algébriques réelles.
• Chaire Sciences des données

  Chaire Sciences des données

  Ects : 6
  

  Volume horaire : 20

  Description du contenu de l'enseignement :
  Le cours aura lieu probablement le mercredi matin au Collège de France au second semestre
  Pour plus d'information consulter le site : https://www.college-de-france.fr/site/stephane-mallat/_course.htm
  La validation se fera sur projet, en travaillant sur l'un des challenge proposés sur le site : https://challengedata.ens.fr/en/home
• Chaire géométrie algébrique

  Chaire géométrie algébrique

  Ects : 6
  

  Volume horaire : 20

  Description du contenu de l'enseignement :
  Pour plus d'information consulter le site : https://www.college-de-france.fr/site/en-claire-voisin/_course.htm
  La validation se fera sur présentation d'un exposé
  
  Enseignant : Claire Voisin
• Régularité en théorie cinétique collisionnelle, résultats anciens et nouveaux

  Régularité en théorie cinétique collisionnelle, résultats anciens et nouveaux

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  CLEMENT MOUHOT
  

  Volume horaire : 20

  Description du contenu de l'enseignement :
  I - Théorie homogène en espace.
  1. Théories classiques de Carleman et Arkeryd,
  2. Propagation des singularités et la régularité pour les intéractions à courte portée,
  3. Théorie parabolique pour les interactions à longue portée modérément singulières ;
  Questions ouvertes et perspective sur les interactions à longue portée très singulières.
  
  II - Théorie perturbative (environ 8h)
  1. Théorie classique de Hilbert, Grad et Ukai (solutions perturbatives globales pour les sphères dures, sans conditions de bord),
  2. La question de la décroissance aux grandes vitesses (factorisation du semi-groupe et élargissement de l'espace),
  3. Propagation des singularités et de la régularité pour les interactions à courte portée (sans condition de bord),
  4. Solutions perturbatives dans un domaine borné,
  5. Questions ouvertes et perspectives sur la régularité du "billard statistique" et des solutions perturbatives en domaine borné.
  
  III - Théorie conditionnelle
  1. Propagation conditionnelle de la régularité pour les intéractions à courte portée,
  2. La conjecture de régularité conditionnelle pour les interactions à longue portée,
  3. Extension de la théorie de De Giorgi-Nash-Moser aux équations hypoelliptiques,
  4. Principes du maximum non linéaires et bornes ponctuelles de décroissances,
  5. Estimations de Schauder hypoelliptiques,
  6. Résolution de la conjecture dans le cas d'interactions modérément singulières,
  7. Questions ouvertes et perspectives dans le cas très singulier.
• Introduction à la topologie symplectique

  Introduction à la topologie symplectique

  Ects : 6
  

  Volume horaire : 20

  Description du contenu de l'enseignement :
  La topologie symplectique étudie les propriétés topologiques des objets de la géométrie symplectique: variétés symplectiques et de contact, sous-variétés lagrangiennes, flots Hamiltoniens. Elle a des relations avec les systèmes dynamiques, géométrie algébrique réelle ou complexe.
  La topologie symplectique s'est développée de manière spectaculaire dans les 35 dernières années et un trimestre lui est consacré à l'IHP d'avril à juillet 2021.
  Ce cours constitue en une introduction aux résultats de base de la topologie symplectique par la méthode des fonctions génératrices ce qui permet d'introduire rapidement les capacités symplectiques et leurs applications.
  Dans une seconde partie du cours, on montrera comment le point de vue de la théorie des faisceaux de Kashiwara et Shapira permet de généraliser ces méthodes dans un cadre plus général et faire le lien avec la théorie de Floer.
• Déformations de groupes discrets dans les groupes de Lie

  Déformations de groupes discrets dans les groupes de Lie

  Ects : 6
  

  Volume horaire : 20

  Description du contenu de l'enseignement :
  Ce cours portera sur l’étude des sous-groupes discrets de SL(n;R) ou SL(n;C) (et plus généralement d’un groupe de Lie semisimple). Nous nous intéresserons plus particulièrement aux propriétés d’ “hyperbolicité” de certains de ces groupes.
  Pour cela, nous commencerons par introduire la notion de groupe hyperbolique au sens de Gromov.
  Nous présenterons les premières propriétés de cette notion (compactification équivariante, invariance par quasi-isométrie...). Parmi ces groupes, certains se réalisent comme groupes discrets d’isométries de l’espace hyperbolique. Ce sont les sous-groupes convexes cocompacts de SL(2;C). Nous en décrirons quelques exemples.
  Nous introduirons ensuite la notion sous-groupe Anosov qui généralise au rang supérieur celle de sous-groupe cocompact. Nous présenterons les premières propriétés dynmaiques et géométriques de ces groupes, et les nombreux exemples que cette notion englobe.

  Compétences à acquérir :
  Ce cours se veut une introduction progressive à la théorie des représentations Anosov, développée durant les quinze dernières années. Cette introduction sera guidée par les questions suivantes :
  - Quand un sous-groupe discret G d’un groupe de Lie G peut-il être déformé ? (i.e. quand existe-t-il une famille à un paramètre non triviale de morphismes ?t : G ? G telle que ?0 est l’inclusion ?)
  - Lorsque de telles déformations existent, quelles propriétés dynamiques et géométriques du groupe discret préservent-elles ?
  
  Dans un premier temps, afin d’illustrer les phénomènes de rigidité fréquents dans ce contexte, nous démontrerons le théorème de rigidité locale des réseaux (théorème de Calabi—Weil) et nous énoncerons les autres grands théorèmes de rigidité (Mostow, Margulis…).
  
  En regard de ces résultats de rigidité, nous présenterons ensuite de nombreux exemples explicites de déformations de groupes discrets. Nous décrirons en particulier certains aspects des variétés de caractères des groupes de surfaces, qui font l’objet d’une recherche active.
  
  Enfin, nous nous intéresserons aux propriétés géométriques et dynamiques des groupes discrets qui sont préservées par déformation. Nous introduirons alors la notion de morphisme Anosov, qui fournit un cadre unifié à l’étude de nombreuses déformations d’origine géométrique (représentations quasi- fuchsiennes, convexes divisibles, variétés anti-de Sitter globalement hyperboliques).
  
  Les thématiques abordées dans ce cours sont proches de celles du cours « Variété des caractères et structures hyperboliques en dimension 3 » du Master de Paris 6. Bien qu’indépendant, ce cours gagnera à être suivi après celui d’Antonin Guilloux.
  
  Enseignant : N. Tholozan
  

Mémoire

• Mémoire de recherche

  Mémoire de recherche

  Ects : 24
  

Cours introductifs obligatoires

• A review of functional analysis tools for PDEs

  A review of functional analysis tools for PDEs

  Enseignant responsable :
  DAVID GONTIER
  

  Volume horaire : 15

  Description du contenu de l'enseignement :
  - Lp spaces, Sobolev spaces ;
  - Distributions, Fourier transform, Laplace, heat and Schrödinger equations in the whole space ;
  - Self-adjoint compact operators ;
  - Laplace and Poisson equations in a domain.
• A review of numerical methods for PDEs

  A review of numerical methods for PDEs

  Enseignant responsable :
  GUILLAUME LEGENDRE
  

  Volume horaire : 15

  Description du contenu de l'enseignement :
  Review of classical numerical methods for PDEs
  Tests and Applications with Matlab

  Compétences à acquérir :
  Basic notions on numerical methods for the approximation of PDE solutions
  

  Bibliographie-lectures recommandées
  R. J. LEVEQUE. Numerical methods for conservation laws, Lectures in Mathematics. ETH Zürich. Birkhäuser,
  second edition, 1992.
  J. C. STRIKWERDA. Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM, second edition, 2004. DOI:
  10.1137/1.9780898717938.
  

Cours fondamentaux de mathématiques - choisir 2 cours parmi

• Introduction to non linear PDEs

  Introduction to non linear PDEs

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  ERIC SERE
  

  Volume horaire : 30

  Description du contenu de l'enseignement :
  Existence of weak solutions of linear and nonlinear elliptic PDEs by variational methods.
  Regularity of weak solutions to linear and nonlinear elliptic PDEs.
  Maximum principles and applications.
  Fixed point theorems applied to nonlinear elliptic PDEs.
  Bifurcation theory applied to nonlinear elliptic PDEs.

  Compétences à acquérir :
  Existence of weak solutions of linear and nonlinear elliptic PDEs by variational methods.
  Regularity of weak solutions to linear and nonlinear elliptic PDEs.
  Maximum principles and applications.
  Fixed point theorems applied to nonlinear elliptic PDEs.
  Bifurcation theory applied to nonlinear elliptic PDEs.
  

  Bibliographie-lectures recommandées
  L.C. Evans, Partial Differential equations (Graduate Studies in Mathematics 19, AMS).
  L. Nirenberg, Topics in Nonlinear Functional Analysis (Courant Lecture Notes Series 6, AMS).
  

• Introduction to evolution PDEs

  Introduction to evolution PDEs

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  STEPHANE MISCHLER
  

  Compétences à acquérir :
  In a first part, we will present several results about the well-posedness issue for evolution PDE.
  - Parabolic equation. Existence of solutions for parabolic equations by the mean of the variational approach and the existence theorem of J.-L. Lions.
  - Transport equation. Existence of solutions by the mean of the characterics method and renormalization theory of DiPerna-Lions. Uniqueness of solutions thanks to Gronwall argument and duality argument.
  - Evolution equation and semigroup. Linear evolution equation, semigroup and generator. Duhamel formula and mild solution. Duality argument and the well-posedness issue. Semigroup Hille-Yosida-Lumer-Phillips’ existence theory.
  
  In a second part, we will mainly consider the long term asymptotic issue.
  - More about the heat equation. Smoothing effect thanks to Nash argument. Rescaled (self-similar) variables and Fokker-Planck equation. Poincaré inequality and long time asymptotic (with rate) in L2 Fisher information, log Sobolev inequality and long time convergence to the equilibrium (with rate) in L1.
  - Entropy and applications. Dynamical system, equilibrium and entropy methods. Self-adjoint operator with compact resolvent. A Krein-Rutman theorem for conservative operator. Relative entropy for linear and positive PDE. Application to a general Fokker-Planck equation. Weighted L2 inequality for the scattering equation. 
  - Markov semigroups and the Harris-Meyn-Tweedie theory.
  
  In a last part, we will investigate how the different tools we have introduced before can be useful when considering a nonlinear evolution problem.
  - The parabolic-elliptic Keller-Segel equation. Existence, mass conservation and blow up. Uniqueness. Self-similarity and long time behavior.
  

• Systèmes dynamiques hamiltoniens

  Systèmes dynamiques hamiltoniens

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  JACQUES FEJOZ
  

  Volume horaire : 30

  Description du contenu de l'enseignement :
  1. Reminder on differential equations
  2. Hamiltonian systems on R2n
  3. Smooth manifolds, tangent and cotangent bundles
  4. Differential forms
  5. Symplectic manifolds
  6. Hamiltonian systems on symplectic manifolds
  7. Integrability of Hamiltonian systems
  8. Hamiltonian perturbation theory
  9. The KAM theorem
  10. The Nekhoroshev theorem

  Bibliographie-lectures recommandées
  V.I. Arnold, Geometric methods in the theory or ordinary differential equations
  V.I. Arnold, Mathematical methods in classical mechanics
  J.M. Lee, Introduction to smooth manifolds
  D. McDuff and D. Salamon, Introduction to symplectic topology
  A. Cannas da Silva, Lectures on symplectic geometry
  G. Benettin, The elements of Hamiltonian perturbation theory
  

• Introduction to statistical mechanics

  Introduction to statistical mechanics

  Ects : 6
  

  Enseignant responsable :
  CRISTINA TONINELLI
  

  Volume horaire : 30

  Description du contenu de l'enseignement :
  The aim of statistical mechanics is to understand the macroscopic behavior of a physical system by using a probabilistic model containing the information for the microscopic interactions. The goal of this course is to give an introduction to this broad subject, which lies at the intersection of many areas of mathematics: probability, graph theory, combinatorics, algebraic geometry…
  
  In the first part of the course we will introduce the key notions of equilibrium statistical mechanics. In particular we will study the phase diagram of the following models: Ising model (ferromagnetism), dimer models (crystal surfaces) and percolation (flow of liquids in porous materials). In the second part we will introduce interacting particle systems, a large class of Markov processes used to model dynamical phenomena arising in physics (e.g. the kinetically constrained models for glasses) as well as in other disciplines such as biology (e.g. the contact model for the spread of infections) and social sciences (e.g. the voter model for the dynamics of opinions).

  Compétences à acquérir :
  Comprendre le comportement macroscopique d'un système physique décrit par un modèle probabiliste donnant les interactions microscopiques entre les composants du système
  

Cours fondamentaux de physique - choisir 2 cours parmi

• Instabilities and nonlinear phenomena

  Instabilities and nonlinear phenomena

  Ects : 6
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  The first part of the course concerns bifurcation theory for maps and ordinary differential equations and an introduction to pattern-forming instabilities and reaction-diffusion equations. Nonlinear waves and solitons as well as instabilities in spatially extended systems are considered in the second part of the lectures, mostly using the concept of amplitude equations which is also applied to problems in condensed-matter physics such as commensurate-incommensurate transitions, magnetic domains and superconductivity. Through these lectures, our aim is to show that symmetry arguments together with a qualitative analysis of differential equations and the use of perturbation techniques provide tools that can be used to understand many phenomena in various fields of physics and elsewhere.
  Detail of the course here
  
  Enseignants : Laurette Tuckerman (ESPCI), Stephan FAUVE (LPENS)
   

  Compétences à acquérir :
  Most problems in dynamics encountered in physics or in other fields are governed by nonlinear differential equations. In contrast to linear equations, they usually display multiple solutions with different qualitative characteristics, often different symmetries. We study the bifurcations, i.e. the transitions, between these different solutions when a parameter of the system is varied. We show that the dynamics in the vicinity of these bifurcations is governed by universal equations called normal forms that mostly depend on the broken symmetries at the transition. We emphasize the analogy with phase transitions, but also point out differences such as limit cycles or chaotic behaviors which do not occur at equilibrium.
  

  Bibliographie-lectures recommandées
  P. G. Drazin, Nonlinear systems, (Cambridge University Press, 1992).
  P. Manneville, Dissipative structures and weak turbulence, (Academic Press, 1990).
  S. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, (Westview Press, 1994).
  S. Fauve, Pattern-forming instabilities, in Hydrodynamics and nonlinear instabilities, edited by C. Godrèche and P. Manneville (Cambridge University Press, 1998) https://darchive.mblwhoilibrary.org/handle/1912/802.
  R. Hoyle, Pattern Formation. An Introduction to Methods, (Cambridge University Press, 2006).
  

• Systems out of equilibrium and nonlinear dynamics

  Systems out of equilibrium and nonlinear dynamics

  Ects : 6
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Many natural phenomena are far from thermodynamic equilibrium and keep on exchanging matter, energy or information with their surroundings, producing currents that break time-reversal invariance. Such systems lie beyond the realm of traditional thermodynamics: the principles of equilibrium statistical mechanics do not apply to them. At present, there exists no general conceptual framework `a la Gibbs-Boltzmann to describe their physics from first principles. The last two decades, however, have witnessed remarkable progress.
  Details of the course here
  
  Enseignants : Kirone Mallick (CEA, IPht), François Petrelis (LPENS)

  Compétences à acquérir :
  The aim of these lectures is to present a unified view on non-equilibrium physics using the framework of statistical and non-linear physics.
  

  Bibliographie-lectures recommandées
  N. Van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, (NorthHolland, Amsterdam, 2007).
  P. L. Krapivsky, S. Redner and E. Ben Naim, A Kinetic View of Statistical Physics, (Cambridge University Press, 2010).
  R. Elber, D. E. Makarov and H. Orland, Molecular Kinetics in Condensed Phases: Theory, Simulation, and Analysis, (Wiley-Blackwell, 2020).
  P. Brémaud, Initiation aux Probabilités: et aux chaînes de Markov (Springer, 2009).
  

• Advanced fluid dynamics and plasma physics

  Advanced fluid dynamics and plasma physics

  Ects : 6
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  I- Plasma Physics : principles, structures and dynamics, waves and instabilities :
  Besides ordinary temperature usual (i) solid state, (ii) liquid state and (iii) gaseous state, at very low and very high temperatures new exotic states appear : (iv) quantum fluids and (v) ionized gases. These states display a variety of specific and new physical phenomena : (i) at low temperature quantum coherence, correlation and indiscernibility lead to superfluidity, superconductivity and Bose-Einstein condensation ; (ii) at high temperature ionization provides a significant fraction of free charges responsible for instabilities, nonlinear, chaotic and turbulent behaviors characteristic of the “plasma state”. This set of lectures provides an introduction to the basic tools, main results and advanced methods of Plasma Physics.
  
  II- Advanced fluid dynamics :
  These lectures aim to bridge the gap between classical introductory lectures on fluid mechanics and the more advanced problems addressed in academic research. The first part of the course will be devoted to fundamental aspects, including the interplay between statistical physics and fluid dynamics. In particular, we will briefly discuss the theoretical process leading to the Navier-Stokes equations from the Boltzmann equation of the classical kinetic theory of gases. This approach highlights the relation between transport coefficients (such as heat conduction) and microscopic data and will lead us to describe some features of the theory of thermal conduction and diffusion in fluids. Similarly, a part of the course will focus on the fundamentals of compressiblefluid motions, which usually remain on the fringes of introductory courses. We will see that there exists a strong analogy between gas dynamics and shallow-depth interfacial waves, leading to interesting results on shock waves and solitary waves. An introduction to complex fluids, such as magnetohydrodynamics or quantum hydrodynamics will also be given.
  
  Enseignants : Jean-Marcel RAX (Univ. Paris-Saclay, Ecole Polytechnique), Christophe Gissinger (LPENS).

  Compétences à acquérir :
  I- Plasma Physics : principles, structures and dynamics, waves and instabilities
  II- Advanced fluid dynamics
  

  Bibliographie-lectures recommandées
  J. M. Rax, Physique des Plasmas, (Dunod Sciences Sup, 5e tirage, 2018).
  J. M. Rax, Physique des Tokamaks, (Editions de l’Ecole Polytechnique, 2011).
  L Chen, Waves and Instabilities in Plasmas, (World Scientific, 1987).
  L. Landau, E. Lifchitz, Course of theoretical physics - Fluid mechanics(1971)
  P. A. Thompson, Compressible Fluid Dynamics (1972)
  H.K. Moffatt, magnetic field generation in electrically conducting fluids, Cambridge Press (1978)
  J. Lienhard IV & J. Lienhard V A Heat Transfer Textbook, Cambridge Massachussets (1981)
  

Cours spécialisés - choisir 2 cours parmi

• Brownian motion and stochastic processes

  Brownian motion and stochastic processes

  Ects : 6
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  These lectures will be centred on random walks and will discuss selected applications in physics.
  The main topics tackled include :
  (a) Normal diffusion and central limit theorem.
  (b) Anormal diffusion induced by long waiting times and generalized central limit theorem.
  (c) Anormal diffusion induced by long-range correlations.
  (d) Explicit calculations on random walks (discrete in space and time).
  (e) First definitions on stochastic processes (Gaussian, stationary, Markovian
  processes). Markov process evolution equations : Chapman Kolmogorov differential equations (forward and backward)
  (f) Applications : calculations of first-passage times ; target search processes.
  
  Enseignants : Olivier Benichou, Raphaël Voituriez
• Numerical methods for fluid dynamics

  Numerical methods for fluid dynamics

  Ects : 6
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  Detail of the courses here
  Overview of discretisation in time and space for pdes,
  Stokes equation and splitting algorithms,
  Transport schemes, numerical diffusion and dispersion,
  Compressible flows,
  Spectral methods and turbulent flows,
  Waves and numerical anisotropy,
  Open domains and boundary conditions,
  Complex domains,
  Prospects.
  
  Validation: Validation will take the form of a mid-term problem and a final project in pairs.
  
  Enseignant : Emmanuel Dormy (DMA ENS)

  Compétences à acquérir :
  Numerical simulation is playing an expanding role in the study of fluid dynamics in scientific research. In this course, we will develop and analyse the various methods available to solve the partial differential equations relevant to computational fluid dynamics (elliptic, parabolic and hyperbolic). The emphasis will be placed on the algorithms and the convergence properties, as well as their application to a wide variety of problems in fluid dynamics.
  

• Turbulence

  Turbulence

  Ects : 6
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  1. Introduction and examples
  2. Conserved quantities and symmetries
  3. Turbulence, dynamical systems and chaos
  4. Cascades and phenomenology of hydrodynamic turbulence
  5. Kolmogorov 1941 theory
  6. Vorticity dynamics and 2D turbulence
  7. Turbulence and statistical mechanics
  8. Intermittency and multifractal analysis
  
  
  Details of the course here
• Soft solids

  Soft solids

  Ects : 6
  

  Description du contenu de l'enseignement :
  1. How to describe deformations : stresses and strains
  2. Deformable slender objects.
  3. What is a solid?
  4. Engineering point of view on rods and truss.
  5. Elastic energy
  6. Elastic Instabilities : avoiding and using them.
  7. Fracture. how things break.
  8. Fracture and adhesion of thin objects.
  9. Soft solids.
  10. interacting fluid and solids.
  11. Plasticity.
  
  
  Details of the course here

Mémoire

• Mémoire de recherche

  Mémoire de recherche

  Ects : 24